자연현상을 미분방정식으로 기술하고, 그 해 또는 해의 성질에 의해 자연 현상을 해명하는 것은 뉴턴(Newton) 이래 300년 이상의 역사를 가지는 전통적인 방법이다. 특히 상미분방정식은 푸앵카레(Poincaré) 이후, 해의 정성적 연구가 활발이 진행되었으며, 최근 카오스 현상, 프랙털 그리고 컴퓨터의 발달과 보급 등으로 이 분야의 연구는 폭넓고 깊이 있게 진행되었을 뿐만 아니라 인공지능, 생태계 등 여러 분야에 응용되고 있다.
이 책에서는 상미분방정식 전반을 다루는 것이 아니라 선형미분방정식계, 특히 주기계수 선형미분방정식계의 기초 이론을 다루되 종래와 달리 저자들에 의해 개발된 방법으로 새롭게 전개한다. 일반적으로 주기계수 선형미분방정식계에서 초기값과 대역적 해와는 1 대 1 대응이다. 즉 초기점을 주면, 그 점을 지나는 대역적 해가 유일하게 정해지며 그 해는 종래의 상수변화법의 공식(제차방정식의 해와 비제차방정식의 해의 합의 형태)으로 주어진다. 그러나 해의 점근적 행태는 적분 항 때문에 잘 알 수가 없다. 그러므로 초기값을 주면, 이에 따르는 해의 점근적 행태를 한 눈으로 알 수 있으면 다행이다. 바로 이러한 생각을 구현한 것이 이 책이다. 이를 위해 저자는 종래 방법과는 다르게 해를 주기함수와 행태를 알 수 있는 (지수함수와 비슷한) 함수의 합의 형태로 표현할 수 있다는 것을 밝힘으로써 이를 가능케 하였다. 이와 같은 해의 표현은 연속계를 이산화(차분화)하고 이산화된 차분방정식계의 새로운 해의 표현을 찾아내고, 그 결과를 다시 연속계로 돌림으로써 얻어진다. 이 과정에 이항계수, 베르누이 수 및 스털링 수 등이 밀접하게 관계된다. 그러므로 이 책은 연속계, 이산계, 수론의 융합체라고 말할 수 있다.
이 책의 주요 특징은 다음과 같다.
첫째, 상수변화법의 공식의 변형으로서 주기계수 선형미분방정식계(연속계), 상수계수 선형차분방정식계(이산계)의 해의 표현을 새롭게 주었다. 이 표현의 최대의 이점은 해의 모든 행태를 쉽게 알 수 있다는 것이다.
둘째, 얻은 해의 표현으로부터 해의 점근적 행태를 초기값에 의해 특징지을 수 있다.
셋째, 상수계수 선형차분방정식계(이산계)의 해의 표현으로부터 행렬의 변환공식을 새롭게 얻고 있다. 이 변환공식은 이산계와 연속계에 사이의 다리 역할을 한다.
넷째, 스펙트럼 분해정리와 스펙트럼 사상정리를 기초로 하는 행렬의 스펙트럼 이론을 기본 도구로 삼고 있다. 많은 책들은 조르당(Jordan) 표준형에 의거하고 있다. 이 책의 내용을 이해하려면 예비지식으로 고도한 수학은 필요하지 않지만, 미분적분학, 선형대수학, 대수학, 수론(조합), 미분방정식(구적법), 복소수함수론의 기초지식을 이해하고 있으면 된다. 따라서 미분방정식, 차분방정식의 전문가, 수리공학자, 수리생물학자는 물론, 고등학교 수학 교사, 자연계 대학원생과 학부 학생들도 충분히 이해하리라고 믿는다.
- 머리말 중에서 -
