16세기 무렵 방정식 x2+1=0 의 실수해가 존재하지 않는다는 것으로부터 시작된 복소수와 복소함수를 연구하는 복소해석학은 고전적 학문으로 이해되지만, 아름답고 놀라운 결과를 보여주는 순수수학의 원천임과 동시에 과학에서 널리 응용되는 강력한 도구들의 보고이다. 이 책은 실해석학과 복소해석학 사이에는 모든 경우에 반드시 따져봐야 할 상호연관성이 있다는 관점에서 쓰여졌다. 어떤 경우에는 실해석학의 개념을 논하고 그것을 복소해석학의 개념으로 일반화하였으며, 또 다른 경우에는 복소해석학의 문제부터 시작하여 이것을 실해석학에 있는 개념으로 축소하였다. 이 두 가지(일반화와 특수화) 모두는 조심스럽게 음미해 볼 만한 충분한 가치가 있다. 

본문의 개념을 설명하는 데 있어 가능하면 해석학적인 특징과 기하학적인 특징을 비교하려고 노력했다. 해석학의 엄밀성과 기하학의 직관성을 상호 보완적으로 조화시켜 기하학은 해석적인 개념들을 보여주기 위하여 사용될 것이고 해석학은 기하학적인 관념을 해결하기 위하여 차용될 것이다. 때때로 동기부여를 위하여 논의가 정리에 선행되기도 하였으며, 이해를 돕기 위하여 정리 뒤에 참고사항이나 최소한의 함축된 사항들을 기술했다. 각 절의 끝에 학생들이 토의할 수 있는 토의문제를 제시했다. 어떤 문제는 간단하고, 어떤 것은 도전해 볼 만하며, 어떤 것은 특정되어 있고, 또 어떤 것은 모호하다. 몇 가지는 답이 하나이고 어떤 것은 답이 많다. 어떤 것들은 이미 증명된 것과 관련되었고, 어떤 것은 앞으로 증명할 것에 대한 것이다. 이런 모든 질문들은 하나의 목적을 갖고 있는데, 학생들이 생각하고, 이해하고, 창조하고, 토의하도록 도와주기 위한 것이다. 각 절의 끝에 있는 연습문제는 그 절에 나온 내용을 얼마나 잘 이해했는가를 알아보기 위한 것으로 책 뒤에 간단한 해답을 제시했으며, 근본적으로 토의문제와의 차이는 용어 정도에 불과하다. 

이 책의 내용은 학부 3∼4학년이나 대학원 입문단계의 1년 과정 복소해석학 강의용으로 쓰여졌으며 고등미적분학에 대한 어느 정도의 지식만 있으면 이해하는 데 어려움은 없을 것이다. 처음 9장은 복소해석학의 서론에 대한 기초이론을 제공하고, 나중의 2장은 복소해석학의 일반론을 공부하고자 하는 학생들에게 필요한 기반을 제공하기 위해 더 고급화된 논제를 약간 다루었다. 특히 중등 교원임용고사를 준비하는 학생들은 이 책의 중심 내용인 5~9장을 충분히 이해할 필요가 있으며 임용고사를 준비하는 데 도움이 될 수 있는 문제를 연습문제에 수록했다. 또 부록에 1995년부터 최근까지 교원임용고사에 출제된 복소해석학 관련문제와 해답 및 풀이를 모두 수록하여 임용고사 준비에 차질이 없도록 했다. 

-머리말 중에서-

제 1 장 대수적 및 기하적 예비지식
1.1 복소체 · 3
1.2 직교형식 · 7
1.3 극형식 · 12
 

제 2 장 위상적 및 해석적 예비지식
2.1 평면 위의 점집합 · 23
2.2 수열 · 31
2.3 콤팩트 집합 · 39
2.4 입체사영 · 45
2.5 연속성 · 49
 

제 3 장 겹선형변환과 사상
3.1 기본 사상 · 61
3.2 선형분수변환 · 66
3.3 그 밖의 사상 · 80
 

제 4 장 초등함수
4.1 지수함수 · 89
4.2 사상 성질 · 96
4.3 로그함수 · 104
4.4 복소지수 · 109
 

제 5 장 해석함수
5.1 코시 – 리만 방정식 · 119
5.2 해석성 · 128
5.3 조화함수 · 137
 

제 6 장 멱급수
6.1 수열 · 149
6.2 평등수렴 · 156
6.3 매클로린과 테일러 급수 · 168
6.4 멱급수에 관한 연산 · 179
 

제 7 장 복소적분과 코시 정리
7.1 곡선 · 193
7.2 매개변수 표현 · 201
7.3 선적분 · 211
7.4 코시 정리 · 222
 

제 8 장 코시 정리의 응용
8.1 코시 적분공식 · 239
8.2 코시 부등식과 그 응용 · 257
8.3 최대 절댓값 정리 · 266
8.4 편각원리 · 275
 

제 9 장 로랑 급수와 유수 정리
9.1 특이점의 분류 · 291
9.2 로랑 급수 · 301
9.3 실적분의 계산 · 314
 

제10장 조화함수
10.1 해석함수와의 비교 · 335
10.2 푸아송 적분공식 · 345
10.3 양의 조화함수 · 358
 

제11장 등각사상과 리만 사상 정리
11.1 등각사상 · 369
11.2 정규족 · 380
11.3 리만 사상 정리 · 387
 

부 록
복소해석학 분야 임용고사 기출문제 · 396
임용고사 기출문제 정답과 해설 · 404
 

• 참고문헌 · 411
• 토의문제와 연습문제에 대한 해답 · 412
• 찾아보기 · 433

이홍렬
성균관대학교 수학과를 졸업하였으며 동 대학원에서 석사, 박사 학위를 취득하였다.
1994년 이후로 우석대학교 수학교육과 교수로 재직 중이다.

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