인터넷은 현대 사회에서 생활의 토대를 제공하는 또 다른 환경으로 자리매김하고 있다. 인터넷은 시간적 ․ 거리적 제약을 잊게 하여 전 세계를 하나의 경계 안에 위치하게 하며 그안에서 발생하고 저장되어 있던 모든 정보를 소통할 수 있는 창구의 역할도 하고 있다. 많은 사람들은 상점에서 물건을 구매하는 대신 전자상거래를 이용하여 상품을 구매하는데, 심지어 무형의 재화까지도 전자상거래를 통해 거래하고 있다. 이처럼 인터넷은 점차 우리의 경제활동에도 깊게 영향을 미치고 있다. 하지만 현재 우리가 사용하는 인터넷은 보안성 측면이 부족하여 개인의 정보가 그대로 타인에게 유출되어 나쁜 용도로 사용됨으로써 자신도 모르게 범죄자가 될 수도 있으므로 사람들은 점차 이에 대한 해결책을 요구하게 되었다. 암호는 이러한 문제를 해결하기 위한 방법 중 하나로서 널리 사용된다. 암호의 시작은 고대에 사용한 문자이다. 문자를 알고 있는 일부 지배계급이 자신들의 고유 정보를 피지배계급에게 노출하지 않으면서 지배계급끼리 공유, 전수 등을 목적으로 사용하였다. 하지만 문자의 사용이 흔해지면서 정보보호를 위한 또 다른 대책이 필요했을 것이다. 특히, 전쟁 중에 명령의 안전한 전달은 필수이므로 이때 암호가 주로 사용되었다. 암호의 사용은 정보의 노출 방지의 목적도 있지만, 허위 정보 제공 방지, 원본 확인 방법 제공 등의 목적도 함께 가지고 있다. 우리가 현재 사용하고 있는 인터넷 환경은 보안성 측면에서는 고대 전쟁 상황과 비슷하다고 할 수 있다. 어쩌면 더 나쁠 수도 있다. 인터넷상에서는 보이지 않는 적, 누가 나의 적인지가 분명하지 않은 상태에서 우리는 메시지를 우리가 원하는 대상에게 안전하게 보내야하기 때문이다. 이처럼 험난한 정보화 세상 속에서 소중한 정보를 안전하게 지키는 방법으로 오랫동안 암호가 학문으로서 연구되고 개발되어 왔다. 암호학은 ‘수학의 꽃’이라고 불린다. 수학이라는 씨를 뿌려 잘 돌보아야 피는 바로 그 꽃에 비유한 것이며, 이는 모든 분야의 수학을 섭렵한 자만이 암호를 제대로 이해할 수 있고, 이를 연구하며 개발이 가능하다는 의미이기도 하다. 실제 암호학은 정수론, 대수학, 선형대수학, 확률론 등 다양한 수학들이 사용되고 있다. 이러한 수학의 내용들은 수학을 전공한 학생들도 단 시간 내에 습득하기 어려운 내용들이​므로 암호에 대한 열정과 관심만으로 암호를 수학적으로 이해하는 것은 쉽지 않은 일이다. 이 책은 암호학에서 사용되는 다양한 수학의 기초 지식을 소개하는 것을 목적으로 하였고, 암호학을 수학적 이론으로 살펴보고자 하는 학생들이 비교적 짧은 시간에 암호학에 필요한 수학의 기초 개념을 세우고, 이 개념을 통해 암호학의 이론들을 이해할 수 있도록 하는 것을 목표로 집필되었다. 이 책의 내용을 간략히 살펴보면 다음과 같다. 제1장에서는 암호의 기초에 관해 서술하였다. 암호의 정의, 개념, 그리고 사용되는 기법, 알고리즘의 종류 등에 관한 개략적인 설명을 통해 앞으로 이 책에서 다루고자 하는 암호학의 내용들이 어떤 것들이 있는지를 살펴보았다. 제2장은 수학의 기초적 개념인 집합과 명제에 대해 서술하였다. 수학은 집합을 연구하는 학문으로 집합의 원소들 간의 작용과 관계, 집합들 간의 작용과 관계를 공부해야 하므로 이런 활동의 재료가 되는 집합의 기본 개념을 설명하는 데 목적을 두고 서술되었다. 제3장은 정수론에 대한 내용으로 작성되었다. 정수론을 처음 접하는 사람들도 비교적 쉽게 이해할 수 있도록 쉬운 증명부터 차근히 서술하였고, 이해가 어려운 부분에 대해서는 충분한 예제를 제공함으로써 이해를 돕고자 하였다. 제4장과 제5장은 대수적 구조에 관한 내용으로 제3장에서 익힌 정수론에 대한 성질을 추상적인 대상의 수집합으로 일반화하고 이를 이용하여 암호학을 기존의 정수 위에서의 연산이 아닌 새로운 수 체계에서의 연산으로 확장, 일반화할 수 있도록 하였다. 제6장은 선형대수에 관한 내용을 담고 있는데, 특히 행렬을 이용한 연산과 행렬들의 성질, 그리고 벡터들의 성질과 벡터공간의 성질에 대해 서술하였다. 행렬의 경우, 대칭키 암호의 S-box를 이용한 연산에서 중요한 역할을 담당하기도 하고, 부호이론에서 연산의 중요한 도구가 되기도 한다. 벡터의 경우는 벡터를 2진수열로 이해하여, 정수가 아닌 다른 대수구조의 원소인 벡터를 이용하여 설명된 암호이론을 이해할 수 있도록 서술하였다. 끝으로 제7장은 확률론에 대한 기초 지식을 서술함으로써 암호학에서 확률이 어떻게 사용되며 통계를 통해 무엇을 얻을 수 있는지 등을 서술하였다. 각 장은 독립적으로 구성되어 있지만, 대수구조를 다루고 있는 제4장과 제5장은 제3장의 정수론 내용을 기억하며 살펴본다면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 것으로 생각한다. -머리말 중에서-

1.1 암호 3

1.2 암호의 기본성질과 필요성 5

1.3 대칭키 암호체계와 비대칭키 암호체계 7

1.4 암호체계에서의 키 분배 13

1.5 암호 기법 14

1.6 해시함수와 전자서명 18

제2장 암호와 집합 Cryptography and Sets

2.1 집합 25

2.2 명제 34

2.3 관계와 함수 42

제3장 암호와 정수론 Cryptography and number theory

3.1 자연수와 정수 49

3.2 가분성 64

3.3 합동 83

3.4 완전잉여계 Zn 과 오일러 함수 96

3.5 원시근 108

3.6 이차 잉여류 115

3.7 소수 판정법 126

3.8 소인수분해 알고리즘 134

3.9 RSA 암호와 그 공격 137

제4장 암호와 대수적 구조 Cryptography and Algebraic Structure

4.1 기본 정의 143

4.2 군 144

4.3 환과 체 175

4.4 다항식환 195

4.5 체 214

제5장 암호와 유한체, 타원곡선 Cryptography, Finite fields, and Elliptic curves

5.1 유한체 233

5.2 타원곡선 246

5.3 타원곡선 군 256

5.4 타원곡선의 응용 263

제6장 암호와 선형대수 Cryptography and linear algebra

6.1 행렬의 정의와 연산 273

6.2 여러 가지 행렬 283

6.3 기본 행 연산 293

6.4 행렬을 이용한 연립 일차 방정식의 풀이 300

6.5 행렬식 313

6.6 벡터 공간 328

제7장 암호와 확률, 통계 Cryptography, Probability, and Statistics

7.1 확률 342

7.2 조건부 확률과 독립 351

7.3 확률 변수 361

7.4 확률 분포 375

참고문헌 392

찾아보기 394

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