이 교재는 학부의 3,4학년이나 대학원 석사과정에서 강의할 수 있는 내용이며, 이 책을 공부하는 데에 필요한 사전 지식은 고등미적분학, 집합론, 일반위상수학 등이다. 측도론은 해석학의 한 영역으로서 길이, 면적, 부피 등의 개념을 보다 일반화시켜서 다루는 이론이다. 17세기 중반에 뉴턴과 라이프니쯔에 의해서 만들어진 미적분학은 많은 수학자들에 의해서 아주 정교하게 다듬어져서 오늘날 우리가 배우는 미적분학이 되었다. 이러한 미적분학은 20세기에 들어와 커다란 방향전환을 하게 되는 데, 그러한 방향전환의 시도가 측도론과 함수해석학의 등장이었다. 

측도론이 만들어진 배경은 우리가 알고 있는 리이만(Riemann) 적분이라 일컫는 정적분의 정의를 다른 방법으로 정의해서 보다 포괄적이고도 보편적인 적분론으로 일반화 시키려는 데에 있었다. 그러나 후에 측도론은 함수공간을 확장하기 위한 대상으로 전환되어 양수뿐만 아니라 음수 그리고 더 나아가 복소수값을 갖는 측도까지 다루게 된다. 확률론을 체계적인 수학이론으로 확립하는 데에 측도론이 아주 중요한 역할을 하게 된다. 따라서 대학원과정에서 확률론을 체계적으로 공부하려는 분들에게는 측도론 공부가 필수적이다. 

- 머리말 중에서-

제1장 측도(Measure) 1
1.1 집합. 2
1.2 위상공간. 3
1.3 확장된 실수. 3
1.4 외측도(Outer Measure) . 9
1.5 σ-대수. 9
1.6 측도(Measures) . 14
1.7 영집합(零集合, null set) . 17
1.8《1장 연습문제》. 19

제2장 르베끄(Lebesque) 측도 25
2.1 르베끄 외측도. 27
2.2 직사각입체의 외측도. 29
2.3 카라테오도리(Caratheodory) 가측성 . 33
2.4 영집합과 완비성. 38
2.5 이동 불변성(Translational invariance) . 39
2.6 보렐(Borel) . 41
2.7 보렐(Borel) . 45
2.8 선형변환. 52
2.9 르베끄-스티엘쯔(Lebesque-Stieltjes) 측도. 57
2.10《2장 연습문제》. 58

제3장 가측함수 63
3.1 가측함수의 정의. 63
3.2 실수값을 갖는 가측함수. 65
3.3 함수열의 점별수렴성. 69
3.4 단순함수. 70
3.5 거의 모든 곳에서 성립하는 성질. 72
3.6《3장 연습문제》. 73

제4장 르베끄 적분 75
4.1 단순함수의 적분. 75
4.2 양함수의적분. 76
4.3 가측함수의 적분. 79
4.4 함수의 절대연속성. 83
4.5 함수열의 수렴성에 관한 정리. 86
4.6 복소수 값을 갖는 함수열의 수렴성. 91
4.7 L1-공간. 92
4.8 Riemann 적분 . 94
4.9 벡터값을 갖는 함수의 적분. 95
4.10《4장 연습문제》. 96

제5장 곱측도(Product Measure) 99
5.1 곱σ-대수. 99
5.2 전측도(Premeasure) . 102
5.3 곱측도(Product measure) . 105
5.4 가측함수(measurable function). 108
5.5 단조 집합족 정리. 108
5.6 Fubin의 정리. 109
5.7 곱측도의 완비성. 110
5.8《5장 연습문제》. 111

제6장 미분(Di erentiation) 115
6.1 피복 정리(Covering Lemma). 117
6.2 극대 함수(Maximal function) . 118
6.3 약한 L1-공간 . 120
6.4 Hardy-Littlewood의 정리 . 122
6.5 Lebesque의 미분정리. 123
6.6 부호를 갖는 측도 . 126
6.7 Hahn-Jordan 분활. 128
6.8 Radon-Nikodym의 정리 . 132
6.9 복소수 측도 . 137
6.10《6장 연습문제》. 138

제7장  Lp-공간 143
7.1 Lp-공간 . 143
7.2 Minkowski와 Hölder의 부등식 . 145
7.3 조밀성(density) . 147
7.4 완비성(completeness) . 148
7.5 쌍대성(duality) . 151
7.6 《7장 연습문제》 . 157

부록 A 159
A.1 집합의 개념 . 159
A.2 집합의 연산. 162
A.3 함수. 165
A.4 첨수집합족과 카르테시안곱 . 168
A.5 동치관계와 순서관계 . 171
A.6 가산집합과 비가산집합 . 177
A.7 서수와 기수 . 180
A.8《연습문제》. 187

부록 B 191
B.1 거리공간 . 191
B.2 위상공간 . 197
B.3 연속함수와 위상동형함수 . 198
B.4 컴팩트 공간 . 202

부록 C 205
그리스 문자 . 205
기호표 . 206
참고문헌 . 207

찾아보기 208

양춘우

고려대학교 이과대학 수학과 졸업(이학사)

고려대학교 대학원 수학과 졸업(이학석사)

University of Arizona 대학원 수학과 졸업(Ph. D.)

Rensselaer Polytechnic Institute(RPI) 교환교수 

현. 한신대학교 수학과(수리금융학과) 교수

저서

《미분적분학》, 《미분방정식 입문》, 《일반 위상수학》, 《고등미적분학》, 《위상수학》, 《편미분방정식》

역서

《선형대수학 입문》

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