기하학은 고대 그리스 시대로부터 시작되어, 유클리드기하가 공리계를 기반으로 구축되었다. 거기에서 나타난 “평행선의 공리”를 둘러싼 오랜 세월의 논쟁을 거쳐 지난 세기에 이르러 비유클리드기하 등 많은 기하학이 탄생하고, 더욱이 여기에 나타난 변환군에 주목하여 기하학을 통일하려는 클라인의 제언이 나오기에 이르렀다. 한편, 이것과 전후해서 리만은 고전기하학의 영역을 뛰어넘은 새로운 기하학을 창조하고 조금 늦게 위상수학이라는 새로운 분야가 급속히 성장하기 시작하였다. 금세기를 맞으며 이들 기하학은 다양체라는 장 위에 서로 교차하며 통합해 가는 눈부신 발전을 거듭하고 있다. 여기에, 해석학과 대수학의 고도의 방법이 이용되고 있는 상황에서 현대의 기하학은 다양체의 기하학이라 해도 과언이 아닐 것이다. 이러한 시대에 기하학의 각 분야에 대한 입문서와 전문서적이 저술되고 번역되었으나, 기하학에 대한 일반적인 전망을 알기 위해서는, 우선 약간의 미적분학과 선형대수의 기초만으로도 이해할 수 있는, 다양체의 미분기하학의 ｢마음의 고향｣인 유클리드 3차원 공간 E3 안의 곡선론과 곡면론을 중심으로 쉽게 해설한 McGraw-Hill사에서 출판된 Schaumm’s Outline Series 중 Martin M. Lipschutz가 저술한 DifferentialGeometry를 번역하였다. 이 책은 수학, 물리학 내지는 공학계 학부학생 및 대학원생까지도 교과서 또는 자습서로서 사용할 수 있도록 구성되어 있다. 이 책을 이용하는 방법은, 교과서로든 자습서로든 ｢스스로 생각하고 이해하면서｣ 결국 손과 머리를 움직여 가며 진행하는 것이 바람직한 방법이라 생각한다. 교과서로서 강의할 경우, 학생의 정도에 따라서 증명은 뛰어넘어도 지장이 없는 곳이 더러 있다. 이과계 학생에게는 기하학의 치밀한 이론상의 아름다움을 맛볼 수 있게 하고, 비수학 전공자들에게는 오히려 미분기하학의 전반적인 아름다움을 이해하는 것만으로도 충분한 참고서가 되리라 믿는다. -역자 서문중에서- 이 외에 다음과 같은 샴시리즈 번역서가 나와있습니다. 일반위상수학(이장우) <- General Topology 푸리에 해석(편집부) <- Fourier Analysis 해석기하학 (이건창) <- Analytic Geometry 미분방정식 입문(편집부) <- Differential Equations 벡터해석(이건창) <- Vector Analysis

• 제1장 벡터

  Ⅰ. 서론· 2

  Ⅱ. 벡터· 3

  Ⅲ. 벡터의 덧셈· 3

  Ⅳ. 스칼라에 의한 벡터의 곱· 4

  Ⅴ. 일차종속과 일차독립· 6

  Ⅵ. 기저와 성분· 7

  Ⅶ. 벡터의 스칼라곱· 9

  Ⅷ. 직교벡터· 11

  Ⅸ. 정규직교기저· 12

  Ⅹ. 유향기저· 14

  ⅩⅠ. 벡터의 벡터곱· 15

  ⅩⅡ. 삼중적과 벡터항등식·17

  □ 연습문제· 21

  □ 보충문제· 34

   

  제2장 실변수의 벡터함수

  Ⅰ. 직선과 평면· 38

  Ⅱ. 근방· 40

  Ⅲ. 벡터함수· 41

  Ⅳ. 유계함수· 43

  Ⅴ. 극한· 44

  Ⅵ. 극한의 성질· 46

  Ⅶ. 연속성· 49

  Ⅷ. 미분· 50

  Ⅸ. 미분공식· 53

  Ⅹ. Cm-급의 함수· 55

  ⅩⅠ.테일러의 공식· 56

  ⅩⅡ. 해석함수· 58

  □ 연습문제· 60

  □ 보충문제· 73

   

  제3장 곡선의 개념

  Ⅰ. 정칙표현· 78

  Ⅱ. 정칙곡선· 81

  Ⅲ. 정사영· 86

  Ⅳ. 곡선의 음함수 표현· 87

  Ⅴ. Cm-급의 정칙곡선· 88

  Ⅵ. 호장의 정의· 89

  Ⅶ. 매개변수로서의 호장· 94

  □ 연습문제· 96

  □ 보충문제· 106

   

  제4장 곡률과 열률

  Ⅰ. 서론· 110

  Ⅱ. 단위접선벡터· 110

  Ⅲ. 접선과 법평면· 111

  Ⅳ. 곡률· 113

  Ⅴ. 단위주법선벡터· 117

  Ⅵ. 주법선과 접촉평면· 120

  Ⅶ. 종법선, 이동좌표계· 122

  Ⅷ. 열률· 124

  Ⅸ. 구면곡선· 128

  □ 연습문제· 130

  □ 보충문제· 141

   

  제5장 곡선론

  Ⅰ. 프레네방정식· 146

  Ⅱ. 자연방정식· 146

  Ⅲ. 기본적 존재정리와 유일성정리· 148

  Ⅳ. 곡선의 표준적 표현· 151

  Ⅴ. 신개선· 153

  Ⅵ. 축폐선· 156

  Ⅶ. 접촉이론· 158

  Ⅷ. 접촉곡선과 접촉곡면· 162

  □ 연습문제· 167

  □ 보충문제· 179

   

  제6장 유클리드 공간의 기본위상

  Ⅰ. 서론· 184

  Ⅱ. 개집합· 184

  Ⅲ. 폐집합, 극한점· 186

  Ⅳ. 연결집합· 189

  Ⅴ. 긴밀집합· 193

  Ⅵ. 연속사상· 195

  Ⅶ. 위상동형사상· 200

  □ 연습문제· 202

  □ 보충문제· 213

   

  제7장 벡터변수의 벡터함수

  Ⅰ. 벡터함수· 218

  Ⅱ. 일차함수· 219

  Ⅲ. 연속성과 극한· 223

  Ⅳ. 방향도함수· 225

  Ⅴ. 미분가능한 함수· 228

  Ⅵ. 합성함수, 연쇄법칙· 234

  Ⅶ. Cm-급의 함수, 테일러의 공식· 239

  Ⅷ. 역함수정리· 244

  □ 연습문제· 247

  □ 보충문제· 262

   

  제8장 곡면론

  Ⅰ. 정칙매개변수 표현· 266

  Ⅱ. 좌표조각사상(coordinate patches) · 271

  Ⅲ. 단순곡면의 정의· 275

  Ⅳ. 접평면과 법선· 280

  Ⅴ. 단순곡면의 위상적 성질· 285

  □ 연습문제· 288

  □ 보충문제·· 300

   

  제9장 제일기본형식과 제이기본형식

  Ⅰ. 제일기본형식· 304

  Ⅱ. 호장과 곡면의 넓이· 307

  Ⅲ. 제이기본형식· 312

  Ⅳ. 법곡률· 319

  Ⅴ. 주곡률과 주방향·· 325

  Ⅵ. 가우스 곡률과 평균곡률· 329

  Ⅶ. 곡률선· 331

  Ⅷ. 로드리게스의 공식· 335

  Ⅸ. 점근곡선, 공액곡선족·· 336

  □ 연습문제· 341

  □ 보충문제·· 357

   

  제10장 곡면론(텐서해석)

  Ⅰ. 가우스-와인가르탱의 공식· 362

  Ⅱ. 겸용방정식과 가우스의 정리· 365

  Ⅲ. 곡면의 기본정리· 366

  Ⅳ. 곡면상의 대역적 정리· 370

  Ⅴ. 기호· 371

  Ⅵ. 텐서· 375

  Ⅶ. 텐서대수· 381

  Ⅷ. 곡면론의 방정식에 텐서의 응용· 383

  □ 연습문제· 387

  □ 보충문제· 401

   

  제11장 본질적 기하학

  Ⅰ. 곡면의 사상· 406

  Ⅱ. 등장사상, 본질적 기하학· 409

지은이

M. Lipschutz

옮긴이

전재복

경북대학교를 졸업하고 동경이과대학 이학부를 졸업하며 이학박사학위를 받았다. 저서로는 ⟪응용벡터해석⟫등이 있으며 번역서로는 ⟪수학공부 이렇게 하는 거야⟫,⟪수학공부 이렇게 하는 거야 2⟫,⟪수학질문상자⟫,⟪미분기하학개론⟫,⟪초등미분기하학⟫,⟪미분기하학입문⟫⟪유클리드기하학과 비유클리드기하학⟫,⟪해석기하학⟫,⟪공업수학⟫,⟪황금분할을 찾아 떠나는 여행⟫,⟪임용고사합격을 위한 기하학⟫,⟪천재수학자는 이렇게 풀었다⟫,⟪수학속의 역사, 역사속의 수학⟫등이 있다. 현재는 국민대학교 수학과 명예교수이다.

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