지표이론을 잘 이해하기 위해서는 많은 수학적 지식이 필요하다. 아주 깊고 자세한 것은 참고문헌에 있는 원문을 참고하여 필요한 부분을 심도있게 연구할 수 있게 하였다. 본 책에서는 지표이론에 대한 최소한의 수학적 내용을 소개하였고, 지표이론의 증명과 응용, 그리고 지표이론이 현대수학에서 어떻게 이용되고 있는가를 보다 광범위하게 다루었다.
제1장에서는 위상적 다양체, 미분다양체 그리고 복소다양체를 다루며, 실벡터번들, 복소벡터번들 그리고 접벡터번들과 다양한 벡터번들을 다루고, 벡터번들상에 스티펠‑위트니류, 천류, 폰트리아진류, 오일러류 등을 다루며, 다양체상의 벡터번들은 위트니합과 텐서곱의 연산으로 K‑환을 이루는데 K‑환에서 코호몰로지환으로 가는 천특성(Chern character)과 토드류(Todd class)를 다룬다.
제2장에서는 다양체상의 벡터번들 섹션상에 타원슈도 미분연산자(Elliptic pseudo differential operator)에 대한 아티야‑싱어 지표정리(Atiyah-Singer Index Theorem)와 번들상의 특성류를 이용한 위상적 지표를 소개한다. 또 K‑환의 부호를 슈도미분 연산자로 변형하는 방법과 이 연산자의 지표를 정의하고 이를 해석학적 지표로 정의한다. 이 해석학적 지표가 위상적 지표와 같은 성질을 가지며, 이 성질이 유일함을 이용하여 위상적 지표와 해석학적 지표가 같음을 증명한다.
제3장에서는 지표정리의 응용으로 미분다양체의 코탄젠트번들의 외번들과 외미분에 의한 드람 코호몰로지에 대한 오일러지표와, 복소다양체에서 코시‑리만연산자에 따른 돌보연산자의 지표와, 미분다양체에서 라플라스연산자를 이용한 호지연산자의 지표인 다양체의 시그니처를 소개하고, 스핀다양체에서 미분과 클리포드곱에 의하여 정의된 디락연산자를 유도하고 디락연산자의 지표인 스핀지표를 다룬다.
제4장에서는 리군이 다양체의 연산자와 조화롭게(compatible) 작용할 때 군작용에 불변하는 연산자의 지표를 군작용의 고정점에 따른 연산자의 지표와 같음을 증명하고 응용하고자 한다. 구체적으로는 다양체의 위상적 아티‑싱어 G‑지표정리, 미분다양체에서 러프셔츠수, 복소다양체에서 러프셔츠수, 그리고 다양체의 G‑시그니처와 스핀다양체의 G‑스핀지표와 그 예를 다룬다.
제5장에서는 지표정리를 이용하여 모듈라이 공간의 차원을 유도하였다. 모듈라이 공간을 이용하여 여러 가지 불변량을 구하는 데 모듈라이 공간의 차원은 필수적이다. 구체적으로는 4차원 미분다양체에 SU(2)–번들의 커넥션 중 자기쌍대(self‑dual)인 것들은 도넬슨 모듈라이 공간을 이루는데 이때 차원을 구하는 것에 일종의 디락연산자의 지표를 이용하였다. 도넬슨은 이 모듈라이 공간을 이용하여 많은 4차원 다양체의 미분구조를 밝혔다. SU(2)–번들의 양 ‑밀즈이론은 비선형미분방정식에 의존한다. 이것에 비하여 U(1)–번들의 사이버그–위튼이론은 선형미분방정식으로 훨씬 간편하다. 사이버그–위튼의 모듈라이 공간은 비틀어진 디락연산자의 근이고, 이 연산자의 지표로 모듈라이 공간의 차원을 구할 수 있다. 이 사이버그–위튼 불변량은 도넬슨의 불변량과 같은 효과를 얻으며 톰(Thom)의 가설을 증명하는 데 이용되었다. 마지막으로 심플렉틱 다양체에서 2차원 호몰로지를 나타내는 슈도홀로모르픽(pseudo–holomorphic) 사상들은 그로모브–위튼 모듈라이 공간이 된다. 그리고 비틀어진 돌보연산자의 지표로 이러한 모듈라이 공간의 차원을 구할 수 있다. 이때 나타나는 그로모브‑위튼 불변량을 이용하여 퀀텀곱과 퀀텀코호몰로지환을 유도한다. 이는 거울대칭(mirror symmetry)에 이용되고 아놀드가설(Arnold conjecture)를 푸는 데 이용되었다.
부록 A에서는 수학과 이론물리학의 관계를 개괄적으로 다루었다. 역사적으로 수학과 물리학은 자연현상을 연구하는 데 있어 같은 뿌리를 두고 상호영향을 주면서 발전해 왔다. 역사적인 간단한 줄거리와 함께 수학과 물리학에서 장이론, 게이지이론,4차원 다양체의 미분구조연구에 공헌한 디락연산자로부터 유도된 도넬슨의 불변량,모노폴이론을 이용한 사이버그–위튼 불변량, 심플렉틱 다양체에서 그로모브–위튼 불변량을 이용한 퀀텀코호몰로지, 그로모브‑위튼 포텐셜과 끈이론을 이용한 거울대칭을 소개한다.
부록 B에서는 심플렉틱 다양체 연구에 그로모브–위튼 불변량이 중요한 역할을하므로 간단히 소개한다. 구체적으로는 심플렉틱 다양체, 2차 호몰로지를 나타내는 J –홀로모르픽 곡선, J –홀로모르픽 사상의 모듈라이 공간과 그의 콤팩트성, 모듈라이 공간과 다양체를 연결해 주는 수치사상(evaluation map)과 그로모브–위튼 불변량, 그로모브–위튼 불변량을 이용한 퀀텀코호몰로지, 퀀텀코호몰로지의 계수인 노비코브환(Novikov ring), 퀀텀코호몰로지와 프로에 호몰로지(Floer homology)의 관계를 간단히 소개하였다. 부록 C에서는 복소그라스만 다양체를 소개하였다. 복소그라스만 다양체는 복소 벡터번들을 분류하는 데 사용되고, 그 구조가 아름답고 명료하여 복소기하학에 주된 예로 사용된다. 본 장에서는 복소그라스만 다양체의 특별한 경우인 복소사영공간, 복소벡터번들의 분류, 그로모브–위튼 불변량 및 퀀텀코호몰로지를 소개하고 란다우–긴즈버그 포텐셜을 소개하였다.
-머리말 중에서-
