이 책은 확률론의 입문서이다. 확률론의 기본은 가법성이다. 즉, 「어떤 사건이 동시에 일어나지 않는 몇 개의 사건으로 쪼개질 때 그 확률은 각 사건의 확률의 합이 된다」고 하는 성질이다. 왜 확률의 σ-가법성이 중요한지, 그 이유를 간단한 예를 통해 설명하고 학습의 동기부여로 삼는다.

이 책에서는 확률론을 체계적으로 배우고자 하는 사람들에게 최소한으로 필요하다고 생각하는 대상을 엄선하여 다루었다. 따라서 내용적으로 특별히 새로운 사항이 있는 것은 아니다. 하지만, 가능한 한 설명을 세심하게 하려고 노력했다.

제 1 장 확률론을 배우는 데 있어 1

1.1 무작위 현상 2

1.2 동전던지기의 확률 2

1.3 독립성 3

1.4 독립시행의 확률 4

1.5 확률의 가법성 5

1.6 확률변수와 기댓값 7

1.7 큰 수의 약법칙 9

1.8 확률의 σ–가법성과 큰 수의 강법칙 16

1.9 현대 확률론의 성립 19

제 2 장 확률론의 기초 개념 25

2.1 확률공간과 확률변수 26

2.1.1 확률공간 26

2.1.2 확률변수 33

2.1.3 분포 38

2.1.4 기댓값과 분산 46

2.2 확률변수 열의 수렴 52

2.2.1 정의 52

2.2.2 수렴의 여러 개념 사이의 관계 53

2.2.3 확률변수 열의 고른 가적분성 55

연습문제 63

제 3 장 조건부 확률과 독립성 65

3.1 조건부 확률의 소박한 정의 65

3.2 독립성 67

3.2.1 사건의 독립성 67

3.2.2 σ–집합대수의 독립성 68

3.2.3 확률변수의 독립성 69

3.3 확률공간의 직접곱 73

3.3.1 유한개 확률공간의 직접곱 73

3.3.2 무한개 확률공간의 직접곱 75

3.3.3 독립확률변수의 무한 열의 존재 76

3.4 σ–집합대수에 대한 조건부 확률과 조건부 기댓값 77

3.4.1 소박한 정의 77

3.4.2 일반적인 정의 78

3.4.3 조건부 기댓값의 성질 80

3.5 콜모고로프의 0–1 법칙 83

연습문제 85

제 4 장 큰 수의 법칙 87

4.1 약법칙 87

4.2 강법칙 88

연습문제 97

제 5 장 중심극한정리와 작은 수의 법칙 99

5.1 측도의 약수렴 100

5.2 특성함수 111

5.3 중심극한정리 121

5.4 푸아송의 작은 수의 법칙 125

5.5 통계역학에 응용하기 126

5.5.1 맥스웰 분포 126

5.5.2 푸아송 점과정 129

연습문제 130

제 6 장 마팅게일 133

6.1 이산 시간 마팅게일 134

6.1.1 정의 134

6.1.2 두브의 분해 136

6.1.3 마르코프 시각 138

6.1.4 두브의 임의 추출정리 142

6.1.5 두브의 부등식 145

6.1.6 열마팅게일의 수렴 정리 148

6.1.7 모멘트 부등식 156

6.2 연속 시간 마팅게일 161

6.2.1 정의 161

6.2.2 마르코프 시각 162

6.2.3 두브의 부등식 164

6.2.4 두브의 임의 추출 정리 165

6.2.5 열마팅게일의 수렴 정리 165

6.2.6 두브–메이어 분해 166

6.2.7 버크홀더의 부등식 167

6.2.8 마팅게일 성질의 응용 167

연습문제 168

제 7 장 마르코프 과정 171

7.1 콜모고로프의 확장정리 172

7.2 이산 시간 마르코프 연쇄 173

7.2.1 확률 행렬 173

7.2.2 마르코프 연쇄의 정의와 구성 174

7.2.3 마르코프성 176

7.2.4 강 마르코프성 178

7.3 도달 확률과 차분 방정식 179

7.4 유한 상태공간 위의 마르코프 연쇄 184

7.4.1 불변분포와 에르고딕성 184

7.4.2 큰 수의 법칙 189

7.5 정방 격자 위의 막걸음 192

7.5.1 재귀성과 비재귀성 193

7.5.2 단순 막걸음의 재귀성과 비재귀성 196

7.6 연속 시간 마르코프 과정 199

7.6.1 체프만–콜모고로프의 등식 199

7.6.2 가법 과정 200

7.7 브라운 운동 201

7.7.1 브라운 운동의 정의 201

7.7.2 브라운 운동의 성질 203

7.8 푸아송 과정 205

연습문제 207

제 A 장 부록 209

A.1 π–λ 정리 209

A.2 라돈–니코딤 정리 211

A.3 호프의 확장정리와 콜모고로프의 확장정리 213

연습문제 213

연습문제 해답 215

참고 문헌 227

저자 소개

舟木直久(Tadahisa Funaki)

후나키 타다히사

도쿄대학 대학원 수리과학 연구과 교수

(현재 도쿄대학 대학원 수리과학 연구과 명예교수)

역자 소개

유현재

한경국립대학교 응용수학과 교수

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