이 책은 함수해석학의 방대한 주제들을 나열하기보다는 한 학기 강의를 통해 핵심적인 철학을 효과적으로 전달하는 것에 초점을 맞추었다. 전체를 세 부분으로 나누어 첫 부분에서는 대표적인 함수공간 모델인 바나흐 공간(Banach space), 힐버트 공간(Hilbert space), 프레셰 공간(Frechet space), 혹은 더 일반적인 국소볼록공간(locally convex space)을 다루며 그 기본적인 성질을 살펴본다.

두 번째 부분에서는 바나흐 공간과 유계선형작용소의 근본적인 성질 중 Hahn-Banach 정리, 약수렴성과 약 수렴성, 약위상과 약 위상, 볼록집합의 극점에 대한 Krein-Milman 정리, 그리고 Baire 범주정리로 얻어지는 바나흐 공간 선형작용소에 대한 결과들을 차례로 살펴보고 그 응용들을 확인해 볼 것이다.

마지막 부분에서는 함수해석학의 대표적인 응용으로 볼 수 있는 스펙트럴 이론에 집중한다.

스펙트럴 이론은 『선형대수』 고윳값 이론의 추상화로 수많은 연구 주제로 이어지지만, 이 책에서는 가장 대표적인 힐버트 공간 상의 컴팩트 자기수반(self-adjoint) 작용소에 대한 스펙트럴 분해 정리, 일반적인 바나흐 공간 상의 컴팩트 작용소에 대한 Riesz의 스펙트럴 이론을 거쳐 힐버트 공간 상의 일반적인 자기수반 작용소에 대한 스펙트럴 적분표현정리를 이해하는 것으로 이번 학습을 마무리하고자 한다.

제I부 함수공간의 틀: 바나흐, 힐버트, 국소볼록공간 1

1 바나흐 공간이란 3

1.1 노름공간과 무한차원 3

1.2 바나흐 공간의 정의와 예 6

1.2.1 완비화 8

1.3 바나흐 공간의 동등성 10

1.4 바나흐 공간의 쌍대성 11

1.5 추가 연습문제 15

2 힐버트 공간이란? 17

2,1 내적의 기본 성질과 힐버트 공간 17

2.2 힐버트 공간의 수직성과 쌍대성 19

2.2.1 응용: Radon-Nikkodym 정리에 대한 함수해석적 증명 23

2.3 힐버트 공간의 정규직교기저와 동등성 26

2.4 추가 연습문제 30

3 바나흐 공간 선형작용소의 기초 33

3.1 노름공간의 유계선형사상 33

3.1.1 유계선형작용소의 유일한 확장 34

3.1.2 유계선형작용소의 예 35

3.1.3 유계선형작용소의 영공간과 치역공간 37

3.2 힐버트 공간의 수반사상과 정사영 38

3.3 추가 연습문제 41

4 국소볼록공간과 프레셰 공간 43

4.1 초함수론과 Sobolev 공간 다시보기 49

II 바나흐 공간과 유계선형작용소의 성질 53

5 Hahn-Banach 확장정리와 그 응용 55

5.1 Hahn-Banach 확장정리 55

5.2 Hahn-Banach 확장정리의 증명 57

5.3 노름공간의 표준적 매립사상과 반사적 공간 59

5.3.1 바나흐 공간에서의 수반사상 61

5.4 응용: 실직선 상 연속함수의 근사 62

5.5 응용: 해석함수의 유리함수 근사 63

6 약수렴성과 약∗수렴성 65

6.1 응용: 조화함수의 경계에서의 행태 67

7 약위상과 약∗위상 71

7.1 약∗위상을 제한하여 거리공간이 되는 경우 76

7.2 응용: 컴팩트 군에서의 Haar 측도 존재성 77

7.3 응용: 변분법에서 해의 존재성 (최적 운송) 82

8 Hahn-Banach 분리정리와 볼록집합의 극점에 대한 Krein-Milman 정리 87

8.1 Krein-Milman 정리와 그 증명 87

8.2 응용: 소멸자와 사전소멸자 92

8.3 응용: Stone-Weierstrass 정리와 그 결과들 93

8.3.1 컴팩트 행렬 리 군의 계수함수들의 조밀성 95

8.4 응용: 이산적 Liouville 정리 97

9 Baire 범주정리로 얻어지는 바나흐 공간 선형작용소의 성질들 99

9.1 Baire 범주정리 99

9.2 균등유계성원리과 그 응용 100

9.2.1 응용: 푸리에 급수가 발산하는 연속 주기함수 102

9.2.2 응용: 약위상과 약∗위상이 거리공간 구조를 가지지 못하는 경우 103

9.3 열린사상정리와 그 응용 104

9.3.1 응용: 두 노름 비교하기 105

9.3.2 응용: 주기함수의 푸리에 급수로는 수열공간 c0를 다 채울 수 없다 106

9.4 닫힌그래프정리와 그 응용 107

9.5 몫공간과 CGT를 이용한 OMT 증명 109

III 스펙트럴이론 113

10 컴팩트 작용소의 스펙트럴 이론 115

10.1 컴팩트 작용소 115

10.2 힐버트 공간에 작용하는 컴팩트 자기수반 작용소의 스펙트럴 이론 118

10.3 컴팩트 작용소와 Fredholm 대안 122

10.4 컴팩트 작용소에 대한 F. Riesz의 스펙트럴 이론 123

10.5 응용: 적분방정식 126

10.5.1 미분방정식과의 관계 126

10.6 응용: 비유계 자기수반 작용소의 이산 스펙트럼 127

10.7 추가 연습문제 130

11 Hilbert-Schmidt 작용소와 트레이스 클라스 작용소 131

11.1 힐버트 공간 컴팩트 작용소의 절댓값, 특이값, 그리고 극분해 131

11.2 Hilbert-Schmidt 작용소 134

11.3 트레이스 클라스 작용소 136

11.4 적분작용소가 트레이스 클라스가 되는 경우 143

12 자기수반 작용소의 스펙트럴 이론 149

12.1 작용소의 스펙트럼에 대한 일반적인 이론 149

12.2 자기수반 작용소의 스펙트럼과 양작용소 153

12.3 스펙트럴 측도와 적분 156

12.3.1 스펙트럴 적분 정의하기 158

12.4 스펙트럴 정리와 유계 Borel 범함수 계산법 160

12.5 스펙트럴 이론의 추가 주제 168

12.5.1 정규작용소의 경우 168

12.5.2 단위작용소 분해를 이용한 범함수 계산법 169

12.5.3 해석함수 범함수 계산법 170

12.5.4 비유계 자기수반 작용소에 대한 스펙트럴 이론 171

13 에필로그: 바나흐 공간을 활용하는 것이 힐버트 공간에 비해 어려운 이유 173

13.1 유계사영사상의 부재 173

13.2 기저이론의 난해함 175

13.3 수열공간 ℓp의 비동등성 176

A 사전지식 183

A.1 거리공간의 완비화 183

A.2 복소측도와 Riesz-Markov-Kakutani 정리 184

참고문헌 188

한국과학기술원(KAIST) 수학 석사

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