경문사

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임용수학 완전정복 미분기하학

 
지은이 : 김영록, 정기룡, 한종민
출판사 : 경문사
페이지수 : 260
ISBN : 979-11-6073-144-6
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사범대학 수학교육과 학생, 교직으로 수학을 전공한 학생, 교육대학원에서 수학교육을 전공한 후 수학 임용시험을 준비하는 학생을 위한 ‘임용수학 완전정복’ 시리즈를 발간하게 되어서 매우 기쁘게 생각한다. ‘임용수학 완전정복’ 시리즈는 수학 임용시험에 필수적으로 출제되는 수학 전공 과목인 현대대수학, 미분기하학, 선형대수학, 정수론, 해석학, 복소해석학, 위상수학으로 구성되어 있다. 각 과목별로 1991년부터 2018년까지의 임용시험 기출문제들을 포함하여 임용시험을 준비하는 예비 수학교사들에게 도움이 되고자 하였다. 이 책은 ‘임용수학 완전정복’ 시리즈 중 첫 번째 과목인 ‘미분기하학’이다. 1장에서는 앞으로 사용할 수학용어를 정립하고, 변수가 세 개인 함수의 미분과 유클리드 공간 R3 에 놓인 곡선을 다룰 것이다. 곡선 위의 각 점마다 세 벡터장으로 구성된 움직이는 틀을 할당하는 방법을 통하여 곡선의 성질을 학습할 것이다. 세벡터장의 변화율은 프레네 공식에 의하여 다시 세 벡터장 자신으로 표현된다. 2장에서는 R3 에 놓인 곡면을 정의하고, 곡면을 만드는 표준적인 방법을 소개할 것이다. R3 에 놓여 있는 곡면 M의 모양은 국소적으로 M의 각 접평면에서 정의된 어떤 선형작용소에 의해 표현된다는 것을 보일 것이다. 이 선형작용소에 의해 정의 되는 여러 가지 곡률에 대하여 알아볼 것이다. 3장에서는 곡면의 본질적 성질에 대하여 학습할 것이다. 곡면의 본질적 성질이란 R3 에 놓인 곡면을 R3 에서 바라보았을 때의 성질이 아니라 곡면 위에서 느끼게 되는 성질을 의미한다. 거리, 각도, 면적, 가우스곡률, 측지곡률, 측지선 등이 곡면의 본질적 성질에 해당함을 증명할 것이다. 또한, 삼차원 공간의 벡터장의 방향미분을 곡면의 접평면으로 정사영시켜 얻는 공변미분의 개념과 벡터장의 평행이동에 대해 살펴 볼 것이다. 마지막으로 평면에서의 접선돌기 정리를 곡면에 일반화한 가우스-보네 정리를 증명하고 이를 여러가지 기하적 상황에 적용해 볼 것이다. 4장에서는 곡면 위에서 벡터장의 적분에 대하여 학습할 것이다. 벡터장의 선적분과 면적분의 정의와 성질에 대해 알아본 다음 선적분의 기본 정리, 그린 정리, 발산 정리 및 스토크스 정리를 배울 것이다. 또한, 미분형식의 정의와 성질을 공부한 후 이를 이용하여 미적분의 기본 정리, 선적분의 기본 정리, 그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리 모두를 아우르는 일반 스토크스 정리에 대해 알아볼 것이다. 각 장의 마지막 절에는 연습문제와 임용시험 기출문제가 나오고, 5장에서는 연습문제와 기출문제의 풀이를 제공한다
-머리말 중에서-
머리말 i

1 곡선의 기하학 1
1.1 3차원 유클리드 공간 . 6
1.3 곡선의 곡률과 비틀림률 . 11
1.4 곡선의 합동 . 22
1.5 평면곡선의 성질 . 29
1.6 연습문제 및 기출문제 . 36

2 곡면의 기하학 43
2.1 곡면의 표현 .  44
2.2 법곡률과 측지곡률 . 63
2.3 모양연산자 .  80
2.4 가우스곡률과 평균곡률 . 90
2.5 음함수곡면의 곡률 계산 . 103
2.6 연습문제 및 기출문제 . 114

3 곡면의 본질적 성질 123
3.1 등거리사상 .  124
3.2 가우스 정리 .  141
3.3 벡터장의 평행이동과 측지선 . 148
3.4 가우스-보네 정리 .  160
3.5 연습문제 및 기출문제 . 173

4 벡터장의 적분과 미분형식 181
4.1 벡터장의 선적분 . 182
4.2 벡터장의 면적분 .  187
4.3 미분형식 . 195
4.4 연습문제 및 기출문제 .  203

5 연습문제 및 기출 문제 풀이 205
5.1 1장 연습문제 및 기출 문제 풀이 . 206
5.2 2장 연습문제 및 기출 문제 풀이 . 214
5.3 3장 연습문제 및 기출 문제 풀이 . 233
5.4 4장 연습문제 및 기출 문제 풀이 . 243

Bibliography 245

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수학사 [경문수학산책 04]
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