경문사

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해석학 개론, 제3판

 
지은이 : 강병개, 심성아, 장정욱
출판사 : 경문사
판수 : 3판(2019)
페이지수 : 458
ISBN : 979-11-6073-239-9
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이 책은 대학교 학부과정에서 다루게 될 해석학의 기본이론을 쓴 것이다. 미적분학에서는 수열과 함수의 극한, 함수의 연속성, 미분가능성, 적분가능성의 개념을 직관적으로 설명하였는데, 그러한 개념을 바탕으로 하여 여러가지 성질들과 정리들을 이용하여 계산할 수 있는 능력을 키우는 것이 미적분학의 목표였다. 이 책은 그 이후의 과정으로, 실수 집합 R에서 정의된 함수에 대한 극한, 연속성, 미분가능성, 적분가능성 등의 개념을 수학적으로 엄밀하게 정리하고 이를 바탕으로 수열과 급수, 함수 및 함수열, 함수항 급수 등에 관한 성질들을 엄밀하게 증명하는 과정을 익히도록 하였다. 수학적 해석학은 무한소를 엄밀하게 형식화한다는 것이 핵심이다. 고대 그리스 수학에서 항들이 무한히 작아지는 무한등비급수의 합을 계산하였다. 예를 들어, 제논의 이분법의 역리(Zeno’s paradox of the dichotomy)는 그러한 계산을 바탕으로 하고 있다. 이후 에우독소스(Eudoxus)와 아르키메데스(Archimedes) 등과 같은 고대 그리스 수학자들이 곡선으로 둘러 싸인 영역의 넓이나 입체의 부피를 계산하는 수단으로 극한과 수렴성의 개념을 대략적으로 사용하였다. 12세기에서 16세기 사이에 무한소를 이용하는 수학적 결과들이 몇 가지 얻어졌고, 17세기후반에 이르러 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)가 각자 독립적으로 미분을 엄밀한 수학분야로 발전시키게 되었다. 18세기 후반에는 해석학의 엄밀성 문제가 제기되어 라그랑주(Lagrange), 코시(Cauchy)등의 노력으로 많은 해석학적 개념들이 엄밀하게 재구성되었다. 그 결과 18세기와 19세기 동안 해석학 분야에서 많은 발전이 이루어져 우리가 해석학 개론에서 배우는 대부분의 이론들이 정립되었다. 19세기 중반에 리만(Riemann)이 적분의 개념을 엄밀하게 세웠고, 그 후 더 일반적인 적분이론들이 속속 등장하였다. 바이어슈트라스(Weierstrass)가 극한의 개념을 "과  를사용하여 형식화한 것은 19세기 후반의 일이었다. 이렇게 수학적 해석학의 이론이 거의 완성되어 갈 무렵, 실수 집합이 빈틈이 없다는 것을 증명없이 당연하게 사용해 왔다는 사실이 수학자들 사이에서 인지되었다. 이를 극복하기 위하여 공리론적인 접근이 이루어지게 되었다. 또, 이상한 함수들, 예를 들어, 실수 전체에서 연속인점이 하나도 없는 함수, 미분가능한 점이 하나도 없는 함수 등이 여러 수학자들에 의하여 제기되어, 측도이론(measure theory)이 등장하는 계기가 되었고 이를 이용한 르베그(Lebesgue)적분의 개념이 만들어졌다. 20세기에 들어 함수공간, 고차원 벡터공간 등에서의 해석적 이론들이 등장하였고, 현재도 영역을 넓혀 가며 해석학의 연구들이 진행되고 있다. 이 책의 제 1장은 유클리드 공간 R의 기본 성질로서, 실수의 순서 구조에 관한 성질, 관계와 함수, 유한집합과 무한집합, 그리고 유클리드 공간의 위상적 구조를 다루었다. 제 2장은 수열의 수렴성과 수열을 이용하여 나타낼 수 있는 위상적 성질, 급수의 수렴 발산과 절대수렴할 조건들을 알아보았고, 이어서 제 3장에서는 함수의 극한과 연속성, 역함수가 연속일 조건과 평등연속을 다루었다. 제 4장은 함수의 미분과 평균값 정리 등 미분가능한 함수의 성질, 로피탈 (L’Hospital)의 정리, 테일러(Taylor)의 정리를 알아보았다. 제 5장은 리만 적분과 리만-스틸체스 적분의 개념을 엄밀하게 알아보았으며, 미적분학의 기본 정리, 특이적분을 다루었고, 르베그 적분을 직관적으로 소개하였다. 제 6장은 함수열과 함수항 급수, 거듭제곱급수의 수렴과 발산, 그리고 그 응용을 알아보았다. 함수의 테일러 급수 및 매크로린(Maclaurin) 급수를 알아보고, 연속함수를 다항함수의 극한으로 나타낼 수 있다는 스톤-바이어슈트라스(Stone-Weierstrss) 정리를 증명하였다. 이 책에서는 다변수함수의 해석학은 다루지 않았는데, 이 부분을 공부할 학생들은 고급 해석학 또는 고급 미적분학(Advanced Calculus) 교재를 참고하기 바란다. 이 책은 가급적이면 학생들이 스스로 학습할 수 있도록 쉽게 기술하려고 노력했으며, 많은 예와 예제를 수록하였다. 또 연습문제를 난이도에 따라 (A), (B) 두 부분으로 나누어 충분하게 제공하였으며, 전체 연습문제의 절반 정도에 대한 해답을 책의 마지막에 부분에 수록하였다. 그리고 제목에 *표시가 된 몇 개의 절은 심화 내용이나 추가적인 위상 개념과 관련된 내용을 담고 있는데, 해석학을 처음 공부하는 단계에서는 생략해도 무방하다. -머리말 중에서-
머리말 iii

1 유클리드 공간 R의 기본 성질 1
1.1 실수의 순서구조에 관한 성질 . 1
1.2 관계와 함수 . 17
1.3 유한집합과 무한집합 . 30
1.4 R의 몇 가지 위상적 성질 . 40
1.5 추가적인 위상 개념*  . 50

2 수열과 급수 55
2.1 수열의 극한 . 55
2.2 수열의 수렴성과 R의 위상적 성질  . 72
2.3 수열의 수렴성과 콤팩트 집합의 성질* . 84
2.4 급수의 수렴성  . 86
2.5 급수의 절대수렴 판정법  . 104

3 함수의 극한과 연속 117
3.1 함수의 극한  . 117
3.2 함수의 연속성 . 131
3.3 연속함수의 성질. 142
3.4 연속함수의 추가적인 성질*  . 151
3.5 평등연속 . 153
3.6 단사함수와 그 역함수가 연속이 되는 조건 . 162
3.7 콤팩트집합에서 정의된 동형사상* . 173

4 미분 175
4.1 함수의 미분가능성  . 175
4.2 미분가능한 함수의 성질 . 188
4.3 로피탈의 법칙. 198
4.4 테일러의 정리 . 209

5 적분 223
5.1 리만 적분의 개념  . 224
5.2 함수의 적분가능성에 관련된 성질들 . 242
5.3 미적분학의 기본정리  . 255
5.4 특이적분 . 266
5.5 리만-스틸체스 적분* . 279
5.6 르베그 적분* . 290

6 함수열과 함수항급수 293
6.1 함수열과 함수항급수의 수렴과 발산  . 293
6.2 극한함수의 연속성  . 306
6.3 콤팩트집합 위의 함수열과 연속함수 공간의 성질*  . 314
6.4 극한함수의 미분과 적분 . 317
6.5 거듭제곱급수 . 329

7 연습문제 해답 345

참고 문헌 439

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