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고등수학적 사고 - 중등수학교육 04
Advanced Mathematical Thinking

 
지은이 : 데이비드 톨
옮긴이 : 류희찬/조완영/김인수
출판사 : 경문사
판수 : 초판
페이지수 : 366
ISBN : 89-7282-580-8
예상출고일 : 입금확인후 2일 이내
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이 책은 고등수학적 사고의 성격에 관하여 학생들이 겪는 인지적 어려움에 관심을 갖고, 심리학 이론들을 인지 발달의 보다 나중 단계까지 확장시키고자하는 의도에서 쓰여졌다. 따라서 수학자들과 수학교육자들에게 조금이나마 도움이 되리라 생각한다. 수학적 사고 발달의 전과정을 알아보려면 수학자들의 사고의 본질을 조사해 보아야 한다. 이러한 이유로 이 책에서는 1장에서 고등 수학적 사고의 심리학을 논의하고, 다음의 3개의 장에서 고등 수학적 사고에 관련된 정신적 과정, 수학적 창의성의 본질적 특성, 수학자들의 증명관 등에 대해 알아본다.정신적 과정이 대단히 미묘하고 복잡해서인지, 고등 수학을 배우는 보통의 학생들에 적용될 수 있는 고등 수준의 정신적 과정에 관한 연구는 그리 많지 않다. 창의성은 아이디어들이 어떻게 형성되는지에 관련이 있으며, 증명은 관계들의 성격을 밝히는 것과, 수학계의 동의를 얻기 위하여 관계들의 성격을 논리적 발달 과정에 맞추어 어떻게 순서화할 것인가에 관한 것이다. 그렇지만, 아이디어들이 인지적으로 형성되는 방법과 연역적인 순서로 정돈되고 제시되는 방법은 상당히 다르다. 따라서, 수학적 이론을 정의, 정리, 증명의 순서로 단순히 제시하는 것은(대학 교재는 흔히 그렇게 구성되어 있다) 수학의 논리적인 구조를 보여줄 수는 있지만, 학생들의 심리적 발달 과정에 따른 것은 아니라는 점을 분명히 인식해야 한다. -머리말 중에서-

1. 고등 수학적 사고의 심리학
Ⅰ. 고등 수학적 사고의 성격
2. 고등 수학적 사고 과정
3. 수학적 창의성
4. 수학적 증명
Ⅱ. 고등 수학적 사고에 관한 인지 이론
5. 수학-교수 학습에서의 정의의 역할
6. 고등 수학 개념 형성에서의 개념적 실체와 기호의 역할
7. 고등 수학적 사고에서의 반영적 추상화
Ⅲ. 고등 수학적 사고의 교수 학습에 관한 연구
8. 고등 수학의 교수 학습에 관한 연구
9. 함수 그리고 함수와 관련된 학습 장애
10. 극한
11. 해석학
12. 무한에서의 학생들의 직관의 역할
13. 수학적 증명에 관한 연구
14. 고등 수학적 사고와 컴퓨터
부록(14장)
15. 반성
이 책은 국제수학교육심리학회(PME)가 1985년 네덜란드에서 개최한 PME-9의 한 분과인 "Working Group on Advanced Mathematical Thinking"의 6년간의 걸친 노력을 집대성한 것이다.
PME는 국제수학교육위원회(ICMI)의 하위조직으로서, 수학, 교육학, 심리학의 간학문적(interdisciplinary) 연구를 촉진함으로써 구학 교수-학습 과정의 심리학적 측면에 대한 과학적 정보를 축적하기 위해 설립되었다. 1976년 독일 Karlsruhe의 ICME-3에서 첫 모임을 가진 이후 매년 전 세계를 돌며 2002년까지 26차례의 국제적인 모임을 개최하고 있다.
이 책은 수학교육심리학의 범위를 '초등수학'에서 '고등수학'으로 확대하고, 고등수학과 관련된 심리학적 연구를 보다 과학적으로 수행하기 위한 노력의 일환으로 기획되었다. 1980년대 초반까지 수행된 수학교육심리학 연구는 크게 세 가지로 나누어질 수 있다. 그 하나는 일반교육심리학자에 의해 주도된 연구로 그 현저한 특징은 연구 내용이 대부분 초등수학에 국한되고 있다는 점이다. 가네나 오수벨, 부르너, 정보처리이론의 연구가 그 대표적인 것으로 일반적인 퓰리아나 푸앵카레 등 순수 수학자들에 의한 연구로 이들은 자신의 깊은 수학적 이해와 문제해결 경험을 바탕으로 내관(introspection)을 통해 창의적, 직관적 수학문제해결 과정을 기술하고 바람직한 수학교육방법을 제안하고 있다. 이들의 연구는 수학문제해결 과정을 명시적으로 구조화했다는 점에서 수학 교수학습 과정을 개선하는데 강력한 시사를 줄 수는 있지만 학습자의 인지적 과정에 대한 실제적인 데이터를 바탕으로 한 과학적 교수학적 이론이라고 보기는 힘들다. 이러한 두 가지 상반된 연구 분위기와는 달리 스켐프,반힐, 딘즈, 프로이덴탈 등은 60대와 70년대 동안 초등수학뿐 아니라 고등수학을 지도하기 위한, 그리고 일반적인 방법론이 아닌 구체적인 수학학습 내용을 지도하기 위한 과학적 방안을 도출하기 위하여 학습자를 고려하는 심리학적 연구를 수행했다. 이들은 오늘날 PME 연구의 선구자들로 인정되고 있다.
이들의 연구는 모두 20세기 최고의 발달심리학자인 파아제의 연구를 바탕으로 하고 있다. 피아제의 주된 연구 테마는 '지식의 발달과정'을 논하는 데 있었다. 즉, 인간은 어떤 메커니즘을 통해 몰랐던 사실을 알게되는가? 이 물음에 대한 피아제의 대답은 반영적추상화(reflective abstraction)이다. 즉, 높은 사고로 옮겨 가기 위해서는 관찰함으로 얻는 외적인 지식을 내적인 어떤 지식으로 대체함으로써 가능하다는 것이다. 인간은 모르는 것에 대해 당혹감을 느끼게 되고 이 모순을 없애기 위해 자기 자신의 사고를 재조직하며 그 결과 새로운 차원의 높은 수준으로 움직이게 된다. 피아제가 과학적으로 규명한 반영적 추상화의 과정으로부터 우리는 다음과 같은 중요한 교수-학습 원리를 이끌어 낼 수 있다.

·학습은 내적 구성의 과정이다.
·학습은 갑작스러운 통찰이 아닌 점진적인 조직화이다.
·지식의 성장은 의문, 모순 등에 의해 촉진된다.
·의문, 모순, 사고의 재조직은 사회적 상호 작용에 의해 촉진된다.
·모든 종류의 수업 내용은 동화되기 쉽게 조직되어야 한다.
·인지 구조의 동화와 조절이 잘 일어나도록 하는 적절한 갈등이 필요하다.
·모든 수업은 활동이 전제되어야 한다.
·모든 수업에는 의힉화 과정이 포함되어야 한다.
·동료 간의 또는 교사와의 상호 활동이 권장되어야 한다.
·오류에 대해 관대한 교육 환경이 만들어져야 한다.
·자율성이 강조되는 수업활동이 권장되어야 한다.
·구체적인 내용에서 추상적인 내용으로 나아가야 한다.

그러나, 수학교욱에서 피아제가 차지하는 위치는 이러한 일반적인 교수-학습의 원리를 시사하는 것 이상이다. 이러한 원리는 비단 수학뿐 아니라 모든 종료의 학습에 적용되느 것이기 때문이다. 피아제는 수개념, 공간개념과 같은 수학적 개념을 아동이 이해해 가는 관정뿐 아니라 수학의 전체적인 역사발생적 과정을 반영적 추상화로 설명하고 있다. 예를 들어, 인간의 변수 개념은 다양한 사례를 총괄하는 대상화의 결과이며, 이 대상화 과정은 반영적 추상화의 전형적인 예이다. 알고리즘을 만드는 과정이나 함수의 발달과정도 마찬가지이다. 반영적추상화가 수학교육에만 적용된다고 주장하기는 힘들지만 '모든' 수학적 개념이 이 반영적 추상화의 과정이라면 반영적 추상화 과정을 수업의 원리로 삼는 구체적인 방안을 마련하는 일을 서둘러야 할 것으로 본다.
이 책은 이러한 피아제 이론을 근간으로 수학교육에서 정의와 기호의 역할, 함수, 극한, 미적분, 직관, 증명등과 같은 고등수학적 개념을 지도하기 위해 개혁적인 수업 방안, 컴퓨터를 활용한 수학요육의 모습 등을 체계적으로 분석하고 있다.
옮긴이들은 다음의 이유에서 이 책을 우리 나라 수학교육계에 번역 소개하고자 하였다. 첫째, 우리 나라에 수학교육학 연구에서 과학적인 연구 방법론이 보다 확고하게 정착되기를 바라기 때문이었다. 지난 20여 년 동안 우리 나라의 수학교육학은 비약적인 수준으로 발전하였고 최근에는 과학적인 연구방법론에 관한 연구가 많이 이루어지고 있음은 대단히 반가운 일이다. 차제에 이 책에서 소개되는 연구방법론을 통해 수학교육학 연구의 외연이 보다 확대될 수 있을 것으로 기대한다.
둘째, 사법대학의 인적 구성원들인 수학자, 수학교육학자, 교육학자 사이에 공통적인 연구 공간이 마련 될 수 있음을 보여주기 위함이다. 각자의 영역을 넘어 간학문적 연구를 통해 새로운 연구 영역이 생길 수 있음을 이 책은 생생하게 보여주고 있다. 이것은 PME가 25년전에 추구하고자 하는 이상이었다.
셋째, 체계적이고 진일보한'수학교수학습론'의 탄생을 기약하기 위함이다. 수학교수학습론은 교과내용, 교사, 학생 사이의 복잡한 관계를 논하는 수학교육에서 가장 중요한 영역이다. 이러한 이론이 체계화되기 위해서는 이 삼자 사이의 관계를 전제로 하는 지식의 축적이 필요하다. 예를 들어, 학생들에게 가르쳐지는 내용을 선정하거나, 학생들에게 어떻게 수학을 가르칠 것인가에 대한 문제를 학생들의 '이해에 대한 이해 없이' 논의하고 있지는 않는지 반추해볼 때가 되었다고 생각한다.
넷째, 1990년대에 엄청나게 발전하고 있는 PME 연구를 이해하기 위해서는 80년대 PME 연구를 소개할 필요하다고 판단하였다. PME는 명칭이 수학교육심리학이지만 수학교육과 관련된 모든 이론을 망라한 명실공히 수학교육이론가들의 학회로 발전하고 있다. 이 책의 이해를 바탕르ㅗ 우리도 적극적으로 PME에 참여할 수 있는 계기가 되었으면 한다.
다섯째, 고등수학에 대한 심리학적 연구를 촉진하기 위함이다. 수학교육학이 중고등학교에서지도되는 대수, 기하, 확률, 통계, 함수, 미적분 등을 지도하기 위한 교과내용 중심의 학문으로 발전하기 않으면 안 된다. 예를 들어 미적분이 어떤 역사적 발달과정을 거쳐 어떤 필요성에 의해 진행되어 왔으며 그 속에 어떤 심리학적인 어려움이 내재되어 있었는지에 대한 이해가 필요하다. 개념의 발달 과정에서 어려움이 내재되어 있었는지에 대한 이해가 필요하다. 개념의 발달 과정에서 수학자들이 처음 겪는 어려움은 학생들이 그 개념을 처음 학습하면서 겪는 어려움과 유사하기 때문이다.
이 책의 번역과정은 한국교원대학교 대학원 강좌에서 시작되었다. 쉽지 않는 책의 내용을 한 줄 한줄 읽으면서 논의에 임해준 대학원 학생들에게 감사드린다.
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