경문사

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복소함수론과 그 응용, 제8판  무료배송
Complex Variables & Applications(8th)

 
지은이 : James Ward Brown/Ruel Vance Churchill
옮긴이 : 허민
출판사 : 경문사
판수 : 8판(2012 )
페이지수 : 504
ISBN : 978-89-6105-543-7
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이 책의 첫째 목적은 복소 함수론의 응용에서 중요한 이론을 전개하는 것이다. 둘째 목적은 유수 및 한꼴 사상의 응용을 소개하는 것이다. 유수의 경우에, 실 특이 적분의 값을 셈하고 역 라플라스 변환을 찾으며 함수의 영점의 위치를 정하는 데 있어서 유수의 용도를 특별히 강조했다. 한꼴 사상의 경우에는 열의 전도와 유체 흐름에 대한 연구에서 나타나는 경계 값 문제를 해결하는 데 있어서 한꼴 사상의 용도에 상당한 관심을 기울였다. 그래서 이 책은, 편미분 방정식의 경계 값 문제에 대한 고전적인 해법을 전개한 이 책의 저자들이 쓴 􀀎푸리에 급수와 경계 값 문제(Fourier Series and Boundary Value Problems)􀀏와 짝을 이루는 교재로 생각할 수 있다.
이 책의 처음 아홉 장은 미시간 대학교에서 일주일에 세 시간씩 한 한기 강의용으로 오랫동안 사용했다. 그 강의는 주로 수학, 공학, 자연 과학을 전공하는 4학년생과 대학원생들이 수강했다. 학생들은 이 강의를 수강하기 전에 적어도 세 학기의 미분 적분학 과정과 한 학기의 상미분 방정식 과목을 수강했다. 이 책에서 많은 내용은 수업 중에 다룰 필요는 없으며 개별 학습 또는 참고 사항으로 남겨둘 수 있다. 초등 함수에 의한 사상을 강의 초반에 다루고 싶으면, 초등 함수에 관한 제 3 장다음에 바로 제 8 장으로 넘어갈 수 있다.
가능한 한 많은 독자에게 편의를 제공하기 위해서, 미분 적분학과 고등 미분 적분학에 나타나는 더욱 정교한 결과에 대한 논의와 증명을 제공하는 다른 교재를 참고로 각주에 제시했다. 이런 내용은 때때로 필요하다. 복소 변수론에 관한 다른 참고 문헌은 부록 1에 제시했는데, 많은 책이 더 심오한 내용을 다루고 있다. 응용에서 유용한 한꼴 사상 표가 부록 2에 있다.
이번 개정판에서의 주요한 변화는 처음 아홉 장에 나타난다. 이런 변화 중 많은 것은 지난 개정판을 사용한 독자들이 제안했다. 일부 독자는 큰 혼란 없이 생략하거나 뒤로 미룰 수 있는 부분을 좀 더 명확하게 밝혀주기를 원했다. 이에 따라 예를 들면, 테일러의 정리와 로랑의 정리는 그 증명을 포함하는 절과 별도의 절에서 서술했다. 또 다른 중요한 변화는 도함수에 대한 코시의 적분 공식의 확장된 꼴과 관련된다. 이 확장은 완전히 다르게 다시 썼으며, 이의 즉각적인 결과들을 더욱 집중시켜서 단 한 개의 절에 함께 제시했다. 개선할 필요가 있다고 여겨진 사항 중에는 수학적 귀납법을 포함한 좀 더 자세한 논증, 복소 지
수를 사용한 법칙에 대한 더 큰 강조, 무한대에서의 유수에 관한 일부 논의, 실 특이 적분과 그 코시 으뜸 값에 대한 좀 더 명확한 설명 등이 포함된다. 게다가, 일부 내용은 재배열하자는 요구가 있었다. 예를 들면, 적분의 크기의 상계에 대한 논의는 이제 한 절을 온전히 채우고 있고, 고립 특이점에 대한 정의와 예시를 다룬 별도의 절이 있다. 익힘 문제는 지난 개정본보다 더욱 자주 나타나는데, 이에 따라 관련된 내용에 대한 문제를 더 가까운 곳에서 즉각 확인할 수 있다.
-머리말 중에서-
제임스 브라운(James Ward Brown)은 미국 미시간 대학교 디어본(Dearborn) 분교의 수학 교수이다. 그는 하버드 대학교 물리학과에서 학사 학위, 미시간 대학교 앤아버(Ann Arbor) 분교 수학과에서 석사 학위와 박사 학위를 취득했다. 앤아버에서는 과학 기술 연구소의 박사 학위 취득 전 특별 연구원이었다. 그는 처칠 박사와 함께 􀀎푸리에 급수와 경계 값 문제(Fourier Series and Boundary Value Problems)􀀏를 저술했는데, 현재 제 7 판이 출간되어 있다. 그는 미국 국립 과학 재단의 연구
보조금을 받았고, 미시간 주 대학 운영 위원회로부터는 수훈 교수로 선정됐다. 그는 세계 인명록(Who’s Who in the World)에 수록되어 있다.

루엘 처칠(Ruel V. Churchill)은 1987년 사망시 미국 미시간 대학교 수학과 명예 교수였는데, 그곳에서 1922년부터 가르치기 시작했다. 그는 시카고 대학교 물리학과에서 학사 학위, 미시간 대학교 물리학과에서 석사 학위와 수학과에서 박사 학위를 취득했다. 그는 브라운 박사와 함께 푸리에 급수와 경계 값 문제􀀏를 저술했는데, 고전적인 이 교과서의 초판은 거의 70년 전에 썼다. 그는 조작적 수학(Operational Mathematics)도 저술했다. 처칠 박사는 미국 수학 협의회(MAA) 및 다른 수학 학회와 위원회에서 다양한 직책을 역임했다.
제 1 장 복소수_1
1. 합과 곱 _ 1
2. 기본적인 대수적 성질 _ 3
3. 또 다른 성질 _ 5
4. 벡터와 크기 _ 9
5. 켤레 복소수 _ 13
6. 지수 형식 _ 16
7. 지수 형식의 곱과 몫 _ 19
8. 곱과 몫의 편각 _ 21
9. 복소수의 거듭제곱근 _ 25
10. 거듭제곱근의 예 _ 28
11. 복소 평면의 구역 _ 32

제 2 장 해석 함수 _ 37
12. 복소 변수 함수 _ 37
13. 사상 _ 40
14. 지수 함수에 의한 사상 _ 44
15. 극한 _ 47
16. 극한에 관한 정리 _ 50
17. 무한 원점에서의 극한 _ 53
18. 연속 _ 55
19. 미분 _ 59
20. 미분 공식 _ 63
21. 코시ㆍ리만 방정식 _ 67
22. 미분할 수 있기 위한 충분 조건 _ 70
23. 극 좌표 _ 72
24. 해석 함수 _ 77
25. 해석 함수의 예 _ 79
26. 조화 함수 _ 82
27. 유일하게 결정되는 해석 함수 _ 88
28. 반사 원리 _ 90

제 3 장 초등 함수 _ 95
29. 지수 함수 _ 95
30. 로그 함수 _ 99
31. 로그 함수의 분지와 도함수 _ 101
32. 로그 함수와 관련된 등식 _ 104
33. 복소 지수 _ 107
34. 삼각 함수 _ 111
35. 쌍곡 함수 _ 116
36. 역 삼각 함수와 역 쌍곡 함수 _ 119

제 4 장 적분 _ 123
37. 함수 擇의 도함수 _ 123
38. 함수
擇의 정 적분 _ 125
39. 경로 _ 128
40. 경로 적분 _ 133
41. 경로 적분의 예 _ 136
42. 분지 절단이 있는 예 _ 139
43. 경로 적분의 크기에 대한 상계 _ 143
44. 원시 함수 _ 149
45. 원시 함수와 관련된 정리 증명 _ 153
46. 코시․구르사의 정리 _ 157
47. 코시ㆍ구르사의 정리 증명 _ 160
48. 단순 연결 영역 _ 165
49. 다중 연결 영역 _ 167
50. 코시의 적분 공식 _ 172
51. 코시의 적분 공식 확장 _ 174
52. 코시의 적분 공식 확장의 몇 가지 결과_ 177
53. 리우빌의 정리와 대수학의 기본 정리_ 182
54. 최대 크기 원리 _ 184

제 5 장 급수_ 191
55. 수열의 수렴 _ 191
56. 급수의 수렴 _ 194
57. 테일러 급수 _ 199
58. 테일러의 정리 증명 _ 201
59. 테일러 급수의 예 _ 203
60. 로랑 급수 _ 208
61. 로랑의 정리 증명 _ 210
62. 로랑 급수의 예 _ 214
63. 거듭제곱 급수의 절대 수렴과 고른 수렴_ 219
64. 거듭제곱 급수의 합의 연속성 _ 223
65. 거듭제곱 급수의 적분과 미분 _ 225
66. 급수 표현의 유일성 _ 229
67. 거듭제곱 급수의 곱셈과 나눗셈 _ 235

제 6 장 유수와 극점 _ 241
68. 고립 특이점 _ 241
69. 유수 _ 243
70. 코시의 유수 정리 _ 246
71. 무한대에서의 유수 _ 249
72. 세 가지 고립 특이점 _ 252
73. 극점에서의 유수 _ 256
74. 극점에서의 유수 셈 _ 258
75. 해석 함수의 영점 _ 262
76. 영점과 극점 _ 266
77. 고립 특이점 이웃에서 함수의 행동 _ 271

제 7 장 유수의 응용_ 277
78. 특이 적분의 값 찾기 _ 277 79. 특이 적분의 예 _ 280
80. 푸리에 해석학의 특이 적분 _ 286
81. 조르당의 보조 정리 _ 288
82. 오목한 경로 _ 294
83. 분지 점 주의의 오목한 경로 _ 298
84. 분지 절단 위에서의 적분 _ 301
85. 사인과 코사인이 포함된 정 적분 _ 306
86. 편각 원리 _ 309
87. 루셰의 정리 _ 312
88. 역 라플라스 변환 _ 317
89. 역 라플라스 변환의 예 _ 320

제 8 장 초등 함수에 의한 사상 _ 329
90. 선형 변환 _ 329
91. 변환 梡狼_ 331
92. 狼에 의한 사상 _ 333
93. 선형 분수 변환 _ 337
94. 숨은 함수 꼴 _ 341
95. 상반평면의 사상 _ 344
96. 변환 梡苽촁 _ 350
97. 狼撮의 분지에 의한 사상 _ 356
98. 다항 함수의 제곱근 _ 361
99. 리만 곡면 _ 367
100. 관련된 함수에 대한 리만 곡면 _ 371

제 9 장 한꼴 사상 _ 375
101. 각의 보존 _ 375
102. 신축 인자 _ 378
103. 국소적 역 변환 _ 380
104. 켤레 조화 함수 _ 384
105. 조화 함수의 변환 _ 386
106. 경계 조건의 변환 _ 388

제10장 한꼴 사상의 활용 _ 395
107. 정상 온도 _ 395
108. 반평면에서의 정상 온도 _ 397
109. 정상 온도와 관련된 문제 _ 400
110. 사분면에서의 온도 _ 402
111. 정전기 전위 _ 407
112. 원기둥 공간 안의 전위 _ 408
113. 이차원 유체 흐름 _ 412
114. 유선 함수 _ 415
115. 구석과 원기둥 주위에서의 흐름 _ 417

제11장 슈바르츠 ․ 크리스토펠 변환 _ 425
116. 실수 축의 꺾인 선 위로의 사상 _ 425
117. 슈바르츠․크리스토펠 변환 _ 427
118. 삼각형과 직사각형 _ 431
119. 쪼그라든 꺾인 선 _ 435
120. 실틈을 통한 통로에서의 유체 흐름 _ 440
121. 너비가 바뀌는 통로에서의 흐름 _ 443
122. 도체 판 모서리에서의 정전기 전위 _ 446

제12장 푸아송 형태의 적분 공식 _ 451
123. 푸아송의 적분 공식 _ 451
124. 원판에 대한 디리클레 문제 _ 454
125. 관련된 경계 값 문제 _ 460
126. 슈바르츠의 적분 공식 _ 463
127. 반평면에 대한 디리클레 문제 _ 464
128. 노이만 문제 _ 468

■부록 1 : 참고문헌 _ 473
■부록 2 : 구역의 변환 표 (제8장을 보라.) _ 477
■찾아보기 _ 485
이 책은 1940년대에 처음 등장한 이래 거듭 개정되면서, 학부 과정의 복소 해석학에 관한 표준적인 교과서로서의 위치를 확고히 지키고 있다. 대학에서 1년 동안 미분 적분학을 배운 학생이면 누구나 쉽게 읽을 수 있는 이 책은, 복소 해석학을 처음 접하는 학생을 위한 책이다. 체계적이고 상세한 설명과 이해를 돕는 많은 보기 때문에, 독학하기에도 적합하다. 그리고 다양하고 풍부한 연습 문제를 통해 학습한 내용을 꼼꼼하게 복습하고 심화할 수 있다. 계산 문제의 경우에는 답을 제시했기 때문에 자신이 얻은 답을 직접 확인할 수 있으며, 문제와 관련된 내용이 등장하는 곳을 일일이 표시하고 풀이 방향을 알려주는 귀띔(힌트)을 첨부했기 때문에 손쉽게 문제 풀이에 임할 수 있다.
   
 
   
 
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