경문사

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역사가 있는 해석학

 
지은이 : 이정근
출판사 : 경문사
판수 : 1판(2012)
페이지수 : 374
ISBN : 978-89-6105-550-5
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대부분의 해석학에 관한 책은 정의와 엄격한 논리를 바탕으로 해석학의 내용을 전개시키는 데 초점을 맞추고 있다. 이런 방식의 서술에서는 수학적 개념이 형성되는 역사적 과정에 대한 설명이 생략되므로 동기 부여나 흥미 유발이 쉽지 않다. 역사적으로 볼 때 해석학에서 배우는 내용은 적분, 미분, 극한, 실수계의 순서로 발전되었지만 고등학교 및 대학에서 배우는 해석학 관련 주제는 실수계, 극한, 연속, 미분,적분이라는 역순서로 소개된다. 해석학의 내용은 수많은 수학자의 노력을 거쳐 확립된 결과를 바탕으로 재구성되었기 때문에 매우 중립적이고 포괄적인 정의를 바탕으로 전개된다. 따라서 이런 정의에 대한 역사적 변천 과정이나 개념 형성의 동기를 아는 것이 내용의 이해에 도움이 될 것이라고 생각된다.
수학사의 내용이 방대하고 역사적으로 의미있는 문헌에 대한 접근이 제한되어 있으므로 자세한 부분까지 추적하는 것이 쉽지 않다. 또한 수학이 분야별로 시간적 순서를 따라 발전하지 않았기 때문에 함수 개념의 형성, 함수의 극한과 연속, 미분, 적분, 급수의수렴 등과 관련된 역사를 따로 분리하는 것이 쉽지도 않다. 이 책에서는 우리가 공부할 주제별로 역사적 발전과정을 서술하고 내용을 소개하였다. 관심있는 독자는 참고문헌을 살펴보기 바란다
이 책의 특징을 간략히 소개하면 다음과 같다.
(i) 각 주제와 관련된 수학사의 내용을 서술하였다.
(ii) 한정사를 포함한 명제함수를 예제와 함께 자세히 다루었다.
(iii) 학생들이 애로사항을 느끼는 명제의 증명 방법을 소개하였다.
(iv) 위상적 개념을 사용하지 않고 해석적인 방법으로 주요 내용을 소개하였다.
(v) 연속함수의 성질을 위상적 개념을 이용하여 따로 정리하였다.
(vi) 측도론과 르베그 적분의 형성에 대해 간략히 소개하였다
-머리말 중에서-
머리말 iii
제 1 장 명제와 증명 1
1.1 명제와 증명 . 1
1.2 명제함수 . 5
1.2.1 한정사를 포함한 명제함수 . 5
1.2.2 전칭기호와 존재기호를 포함한 명제함수의 부정 . 9
1.3 수학적 명제: 정리 . 12
1.4 수학명제의 증명 . 14
1.4.1 직접증명 . 15
1.4.2 간접증명 . 17
1.4.3 경우를 나누어 증명하기 . 18
1.4.4 존재성과 유일성의 증명 . 19
1.5 수학적 귀납법 . 21
1.5.1 귀납법과 연역법 . 21
1.5.2 제1 수학적 귀납법의 원리와 수학적 귀납법 . 22
1.5.3 제2 수학적 귀납법 . 25
1.5.4 귀납적 정의 . 26

제 2 장 공리계로서의 실수집합 29
2.1 실수계의 구축 과정 . 29
2.2 대수적 공리 . 32
2.3 순서 공리 . 35
2.4 완비성 공리 . 41

제 3 장 함 수 51
3.1 함수 개념의 변화 . 51
3.2 함수 및 용어 . 54
3.3 함수의 측면에서 본 해석학 개요 . 58
3.4 유계함수와 함수의 최대최소 . 60

제 4 장 수열의 극한 63
4.1 수열의 극한 . 64
4.2 수열에 대한 극한의 계산 .70
4.3 부분수열, 코시수열 . 80
4.3.1 부분수열 . 80
4.3.2 코시수열 . 82
4.4 상극한과 하극한 . 88

제 5 장 함수의 극한 93
5.1 - 논법의 역사적 배경 . 93
5.2 함수의 극한 . 96
5.3 극한의 성질과 계산 . 104
5.4 좌극한과 우극한, 무한대를 포함한 극한 . 110
5.4.1 좌극한과 우극한 . 110
5.4.2 확장된 실수계와 무한대를 포함한 극한 . 113

제 6 장 연속함수 119
6.1 연속함수 . 119
6.1.1 한 점에서의 연속성과 연속함수 . 120
6.1.2 함수의 불연속점 . 126
6.2 연속함수의 성질 . 131
6.3 고른연속 . 136

제 7 장 실수 집합의 위상과 연속함수 143
7.1 실수집합의 위상: 열린집합과 닫힌집합 . 143
7.2 집적점과 폐포 . 149
7.3 컴팩트 집합과 하이네-보렐 정리 . 154
7.4 연결된 집합 . 160
7.5 연속함수 . 162
7.5.1 수열과 함수의 극한 . 162
7.5.2 한점에서의 연속과 연속함수 . 163
7.5.3 연속함수의 성질 . 165

제 8 장 함수의 미분 169
8.1 미분의 역사 . 169
8.2 함수의 미분 . 173
8.2.1 미분가능성과 도함수 . 173
8.2.2 함수의 미분법 . 176
8.3 평균값 정리와 응용 . 183
8.3.1 평균값 정리 . 183
8.3.2 함수의 증감과 극값 판정 . 187
8.4 테일러 정리와 응용 . 192
8.4.1 테일러 나머지 정리 . 192
8.4.2 곡선의 볼록성 . 194
8.5 음함수의 미분 . 200
8.6 로피탈 정리와 극한의 계산 . 203
8.7 미분의 응용 . 208
8.7.1 빛의 굴절법칙 . 208
8.7.2 최단시간 강하곡선과 등시곡선 . 209
8.7.3 방정식의 근사해: 뉴턴 방법 . 210
8.7.4 곡률반경 . 212
8.7.5 타원곡선 . 213

제 9 장 리만적분 215
9.1 구적법의 발전과정 . 215
9.2 현대적 적분 이론의 배경: 이산합의 극한 . 220
9.2.1 코시합의 극한: 연속함수에 대한 코시적분 . 221
9.2.2 리만합의 극한: 리만적분 . 222
9.2.3 다르부합의 극한: 다르부적분 . 222
9.3 적분의 정의 및 적분가능성 . 224
9.4 적분가능한 함수와 적분의 성질 . 236
9.4.1 적분가능한 함수 . 236
9.4.2 적분 구간의 분할 . 240
9.4.3 적분과 관련된 부등식 . 242
9.5 미적분학의 기본정리와 정적분의 계산 . 246
9.5.1 미적분학의 기본정리 . 246
9.5.2 부분적분과 치환적분 . 249
9.6 리만합과 적분의 관계 . 255
9.7 특이적분 . 261
9.8 불연속점과 적분가능성 . 267

제 10 장 함수열과 극한함수 273
10.1 점별수렴과 고른수렴 . 273
10.2 다항함수열에 의한 연속함수의 근사 . 281
10.3 극한함수의 성질 .  283
10.3.1 극한함수의 연속성 . 284
10.3.2 극한함수의 도함수 . 286
10.3.3 극한함수의 적분 . 288
10.3.4 매개변수를 포함한 적분 . 290
10.4 새로운 적분의 등장 . 294
10.4.1 르베그의 아이디어 . 294
10.4.2 집합의 측도 . 296

제 11 장 급수와 함수항 급수 299
11.1 급수의 수렴과 발산 . 299
11.2 급수의 수렴판정 . 306
11.3 함수항 급수 . 318
11.3.1 함수항 급수의 역사 . 319
11.3.2 함수항 급수의 수렴과 발산 . 321
11.3.3 함수항 급수에 대한 극한: 연속, 항별미분 및 항별 적분 . 327

제 12 장 멱급수 331
12.1 멱급수의 역사 . 331
12.2 멱급수의 수렴반경과 성질 . 334
12.2.1 수렴반경 . 334
12.2.2 멱급수의 연속성, 항별미분, 항별 적분 . 338
12.3 함수의 멱급수 전개 . 345

참고문헌 353

찾아보기 355
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