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해석학의 기초

 
지은이 : 강성주
출판사 : 경문사
판수 : 1판(2013)
페이지수 : 382
ISBN : 978-89-6105-652-6
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이 책은 열두 개의 장으로 구성되어 있다. 1장에서는 앞으로 전개되는 내용의 바탕을 이루고 있는 논리 및 집합에 대하여 간략하게 다루고 있으며 또한, 명제나 정리 등의 증명을 다루는 방법에 대하여 다룬다. 2장에서는 해석학의 출발점인 수체계를 자연수로부터 복소수에 이르기까지 간결하게 정리하였다. 특별히 실수의 존재성을 Dedekind의 절단을 이용한 방법과 토시수열의 방법으로 설영하였으나 처음에는 읽지 않아도 된다. 3장에서는 실수 수열의 수렴성과 실수의 완비성의 성질을 이용한 볼차노-바이어슈트라스 정리, 그리고 상극한과 하극한을 다룬다. 끝으로 특별한 수열들의 극한에 대하여 다룬다. 4장에서는 실수 급수의 수렴성과 여러 가지 다양한 판정법을 소개하고, 특별한 급수에 대하여도 소개한다. 5장에서는 실수의 위상적인 성질을 다룬다. Compact 집합, 연결집합, 완전집합등을 소개하고 특별한 예로 Cantor 집합을 소개한다. 6장에서는 해석학의 도입부인 함수의 극한과 연속성을 다룬다. 연속함수가 가진 성질을 실수의 위상적인 성질을 이용하여 중간값 정리와 최댓값 최솟값 정리 등을 다룬다. 또한 불연속함수와 단조함수의 정의와 특징에 대하여 다룬다. 7장에서는 미분가능한 함수와 평균값정리에 대하여 다루며, 이를 이용한 추가적인 성질을 살펴본다. 8장에서는 리만적분의 정의와 성질을 다루고, 불연속함수에 대한 리만적분에 대하여 살펴본다. 그리고 리만적분의 여러 가지 중요한 성질과 미분적분학의 기본정리를 다룬다. 끝으로 이상적분에 대하여 간략하게 소개한다. 9장에서는 해석학의 중요한 도구인 함수 급수를 다루기 위한 함수열의 점별수렴성과 균등수렴성을 다룬다. 특별히 균등수렴인 경우 성립하는 극한덩리들과 균등수렴성을 판정하는 방법들에 대하여 살펴본다. 또한 좀 덩 일반화된 해석학적 내용을 다루기 위하여 거리공간과 선형노름 공간, 그리고 축약사상정리를 다룬다. 10장에서는 함수 급수와 초월함수에 대하여 다룬다. 바이어슈트라스 M-판정법을 이용한 함수 급수의 수렴성과 멱급수의 성질, 그리고 테일러 급수에 다룬다. 또한 흥미로운 바이어슈트라스 근사정리를 간략하게 소개한다. 끝으로 우리가 이미 잘 알고 있는 초월함수인 지수함수, 로그함수, 삼각함수를 정의하고 그들의 성질을 다룬다. 11장에서는 미분방정식 해의 국소 존재성과 대역적 존재성에 대하여 다룬다. 12장에서는 푸리에 급수가 이용되는 열방정식의 풀이 과정을 소개하고, 이로부터 푸리에 급수의 정리와 예제, 점별수렴성, 평균제곱 수렴성 등을 다룬다. -머리말 중에서-
제1장 논리와 집합
 1절 명제. 1
 2절 논리접속사. 2
 3절 한정자. 6
 4절 집합. 7
 5절 관계. 11
 6절 함수. 14
 7절 가산집합. 18
 8절 증명방법. 25

제2장 수 체계
 1절 자연수. 33
 2절 정수. 40
 3절 유리수. 41
 4절 실수. 46
 5절 복소수. 52
  6절 실수의 존재성. 58

제3장 수열
 1절 수렴성. 69
 2절 극한정리. 74
 3절 볼차노-바이어슈트라스 정리. 82
  4절 상극한과 하극한. 84
 5절 특별한 수열들. 89

 제4장 급수 99
 1절 급수의 수렴성. 99
 2절 수렴성 판정법. 103
 3절 특별한 판정법 I . 107
 4절 특별한 급수. 115
 5절 특별한 판정법 II . 117

제5장 실수의 위상 125
 1절 열린집합과 닫힌집합. 125
 2절 열린집합과 닫힌집합의 성질. 129
 3절 Compact 집합. 132
 4절 Cantor 집합. 135
 5절 연결집합. 138
 6절 완전집합. 139

제6장 극한과 연속성 143
 1절 함수의 극한. 143
 2절 연속함수. 149
 3절 연속 함수와 위상성질. 154
 4절 불연속성과 단조함수. 161

 제7장 미분 171
 1절 미분가능한 함수. 171
 2절 평균값 정리. 179
 3절 미분가능한 함수의 추가적인 성질. 185

  제8장 리만적분 193
 1절 리만적분의 정의. 193
 2절 불연속 함수의 리만적분. 202
 3절 리만적분의 성질. 207
 4절 미분적분학의 기본정리. 214
 5절 이상적분. 218

 제9장 함수열 229
 1절 점별수렴성과 균등수렴성. 229
  2절 극한정리. 234
 3절 상한 노름. 238
 4절 거리공간. 244
 5절 축약사상정리. 248
 6절 선형노름공간. 253

 제10장 함수 급수와 초월함수 267
 1절 바이어슈트라스 M-판정법. 267
 2절 멱급수. 273
 3절 멱급수의 항별적분과 항별미분. 279
 4절 테일러 급수. 285
 5절 바이어슈트라스 근사정리. 290
 6절 초등 초월함수. 293
 7절 감마함수와 Stirling의 공식. 304

  제11장 미분방정식
  1절 일차 미분방정식의 존재성과 유일성. 311
  2절  global 존재성. 320

 제12장 푸리에 급수
  1절 열방정식. 329
  2절 푸리에 급수. 335
   3절 점별 수렴성. 339
  4절 평균제곱 수렴성. 345

참고 문헌 361
찾아보기 365
수학사 [경문수학산책 04]
-Eves-
 
 
위상수학기초론
-장영식-
 
 
실해석학 개론(2판)
-정동명/조승제-
 
 
   
 
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