경문사

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해석학 X파일 RU 해석학  무료배송

 
지은이 : 박진홍
출판사 : 경문사
판수 : 1판(2013)
페이지수 : 588
ISBN : 978-89-6105-623-6
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RU 해석학은 R=Readable, U=Understandable을 의미한다. 즉, 이 책이 읽기 쉽고 또한 이해하기 쉽게 구성되고 편집되었음을 의미한다. 이때까지 수학을 공부하는 동안에 수많은 실수를 해왔다. 나의 전공이 대수학이지만 실해석학 집필을 택한 이유는 인생의 실수(失手, mistake)와 해석학에서 말하는 실수(實數,real number)가 의미는 다르다 할지라도 인생의 실수는 돌이킬 수 없기 때문에, 해석학 실수에서 무엇을 찾을 수 있지 않을까 하는 마지막 갈망에서 시작된 것이다. 때로는 황당했고 허공 속을 헤매는 듯한 심정으로 공부하여 노력했지만 모든 것이 바람속의 먼지와 같은 기분이다. 이제 얻어진 조그만한 것들을 정리하는 마음으로 해석학 집필의 펜을 들었다. 무엇을 먼저 이야기해야할지 고민했다. 가장 기본적이고 근본적인 질문은 “수학이란 무엇인가? 수학에서 우리는 궁극적으로 무엇을 얻었는가?”였다. 무한히 많이 방황을 했다. 수학(위상수학)에서 시작해서 Computer Science(수치해석학)-Computer Engineering(computer design), 다시금 수학전공(대수학)으로 되돌아왔으니 말이다. 그 동안 시간은 멈추지 않았고 인생의 해는 서산에 기울어져 있는데 수만 번 생각을 했다. 그리고 지금까지 남아있는 기억들을 되살려 보면서 이 책을 썼다. 이 책의 전개 방식의 특징은 기존의 증명 방법을 탈피하여 더욱 나은 이해를 돕기 위하여 computer program을 작성할 때 이용하는 Flow Chart 형식을 택했다. 때문에 독자가 쉽게 이해하는 데 크게 도움이 될 것이다. 또한 이 책은 나의 자서전과 같다고 생각된다. 왜냐하면 RU 해석학에 대한 생각과 전개방식을 나의 방식대로 서술했기 때문이다. 강의를 쉽게 하고 학생들의 이해를 돕기 위하여 가능한 한 많은 예제를 수록하였고 각절마다 연습문제를 실었지만 부족한 점도 많을 것이다. 그리고 오류와 실수를 최소화하기 위해서 노력을 했지만 충분하지는 못한 것 같다. 1년(두 학기) 동안 강의하기에 내용이 많을 경우에는 선별적으로 내용을 선택해서 학생들에게 이해와 도움이 되도록 구성을 하였다.연습문제는 거의 대부분 해답을 마련하였다. 읽고 이해하기 쉽게 하기 위해서 많은 노력을 하였지만 부족한 점들이 많을 것으로 생각된다. 수학을 공부하기 위하여 해석학 책을 잡는모든 이들에게 조금이나마 도움이 되기를 간절히 바란다. 이 책이 독자들로 하여금 해석학을 바르게 이해하고 응용하는 데 밑거름이 되고 좋은 길 잡이가 되어 주었으면 한다. -머리말 중에서-
머리말 iii
• 이 책에 대한 촌평 v
• 기호 vi
• 주의 : 이 책에 사용된 수학적 문장 형태 ix

1. 실수 … 1-58
1.1 의 체의 공리(the field axioms) : 의 대수적 성질 3
1.2 의 순서공리(axioms of order) : 부등식 10
1.3 절댓값 21
1.4 의 완비성 공리(completeness axiom) : 상한, 하한, Archimedean 성질, 밀도성 정리 24
1.5 구간, 극한점(limit points), 개집합 및 폐집합의 특성화, 축소구간성질 38
1.6 Bolzano-Weierstrass, Heine-Borel 정리 52

2. 수열 … 59-120
2.1 수열과 극한(sequences and limits) : 극한값의 유일성 62
2.2 극한정리(limit theorems) : squeeze 정리 69
2.3 단조수열(monotone sequences) : 단조수렴정리 80
2.4 부분수열, Bolzano-Weierstrass : 수열에 대한 BW정리 90
2.5 Cauchy 판정(Cauchy criterion) : Cauchy 수렴판정, Cauchy 수열 101
2.6 상극한, 하극한(upper limits, lower limits) : 상극한 및 하극한의 특성화 109

3. 극한과 연속성 … 121-236
3.1 함수의 극한(limits of functions) : 극한값의 유일성, 점열판정 123
3.2 극한정리(limit theorems) : squeeze 정리 136
3.3 극한개념의 확장(some extensions of the limit concept) : 무한극한 145
3.4 연속함수(continuous functions) : 연속판정법, Dirichlet 함수 160
3.5 연속함수의 결합 172
3.6 구간에서 연속함수, 연속함수의 확장 : compact 보존정리,최소최대정리, IVT, BIVT 181
3.7 균등연속(uniform continuity) : compact상에서 연속, Lipschitz 함수,Cauchy 수열보존정리, 유계보존정리 195
3.8 단조함수와 역함수, 연속함수 : 연속과 도약, 순단조함수정리 219

4. 미분 … 237-324
4.1 도함수(the derivative) : 역도함수, 내부극값정리 240
4.2 롤의 정리와 평균값정리(the mean value theorem) 256
4.3 1, 2차 도함수 Test(the first and second derivative tests) 265
4.4 Darboux 중간값 정리와 도함수의 연속성 273
4.5 로피탈 법칙(L’Hospital’s rule) 280
4.6 테일러 정리(Taylor’s theorem), Newton 방법 293
4.7 볼록함수(convex functions) : 볼록함수의 특성화 314

5. 리만(Riemann) 적분 … 325-416
5.1 Riemann 적분가능성(integrability) : 상적분, 하적분, 리만판정기준 327
5.2 Riemann 적분의 성질 : 적분가능정리, 적분가능성 346
5.3 미적분학의 기본정리 : 부정적분의 균등연속, 적분학의 기본정리,부분적분, 적분의 MVT 366
5.4 극한으로서 적분(integral as a limit) : 리만합, Darbox정리, 미적분학의 Cauchy 기본정리 383
5.5 특이적분(improper integral) : Cauchy 적분, Cauchy 주치,극한비교판정법, 절대적분가능성, 국소리만적분가능성 397

6. 함수열 … 417-460
6.1 점별 및 균등수렴(pointwise and uniform convergence) : 균등노름, Cauchy 수렴판정, 균등 Cauchy 수열 419
6.2 극한의 교환(interchange of limits)
     cont (limit) = limit (cont),
     도함수 (limit) = limit (도함수),
      limitlimit,
      Dini정리 434
6.3 동등연속(equicontinuity) 455

7. 무한급수 … 461-544
7.1 무한급수의 수렴과 발산 : Cauchy판정, 기하급수 463
7.2 양항급수의 수렴판정 I : 비교판정, 적분판정, p-급수,Cauchy 응집판정 472
7.3 교대급수, 절대수렴, 조건수렴 : 교대조화급수 482
7.4 양항급수의 수렴판정 II : 비판정(ratio test), 근판정, 재배열정리 488
7.5 Abel and Dirichlet Test : Cauchy 곱 504
7.6 함수의 급수(series of functions) 및 교환 : 516
     Σ(연속)(연속)Σ, ΣΣ,
     Σㅙ梡Σ , Cauchy 판정, Weierstrass M-판정,
     Dirichlet 판정, Cauchy-Hadamard 정리

• 연습문제 해답 … 545-560
• 참고문헌 … 561
• 찾아보기 … 563-567
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위상수학기초론
-장영식-
 
 
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-정동명/조승제-
 
 
   
 
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