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유클리드 데이터 [경문수학산책 40]
Euclid's Data : The Importance of Being Given

 
지은이 : Christian Marius Taisbak
옮긴이 : 서보억, 김동근
출판사 : 경문사
판수 : 2013(1판)
페이지수 : 422
ISBN : 978-89-6105-626-7
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수학의 역사는 수학교육에서 매우 중요한 가치를 지니고 있다. 학습자 한 개인의 수학개념 발달 과정은 수학의 발달과정 전체를 짧게 반복한다는 역사발생적 원리가 중요한 수학교육 방법으로 자리잡고 있기 때문이다. 그렇다면, 수학교육자와 수학학습자는 수학사에 대해 정말 잘 알고 있는가?
역자는 평소 수학교육 및 수학사에 큰 관심을 가지고 있다. 최초의 수학자라고 일컬어지는 탈레스를 위시하여, 피타고라스, 유클리드, 아르키메데스, 아폴로니우스 등으로 이어져 오는 고대 그리스 수학을 집중적으로 탐구하고 있고, 그 미묘한 마력에 빠져 있다고 해도 과언이 아니다.
그러던 어느 날 파푸스의 <수학집성Mathematical Collection)>제7권에서 ‘분석의 보고(Treasury of Analysis)’라는 문구를 보게 되었다. ‘분석의 보고’에는 고대 그리스의 위대한 수학책에 대한 목록 33권이 제시되어 있었다. 그 목록의 첫 번째 책이 무엇일까 궁금해졌다. 나는 유클리드의 􀀎원론􀀏이라고 생각하였지만 아니었다. 그 책은 바로 <자료론(The Data)>이었다. 아니 자료론? 이게 뭘까? 수학사 책을 뒤적거렸다. 몇몇 책에서 한 줄 혹은 많으면 반 페이지 분량으로 할애된 내용을 발견할 수 있었다. 평소에 그렇게 즐겨 읽던 책인데도 그 동안 존재 자체를 깨닫지 못했던 것이다. 궁금해졌다. 이 책이 어떤 책이기에….
역자는 ‘자료론’과 이렇게 인연을 맺었다. 벌써 6년 전의 일이다. 처음에는 멘지(Menge)의 번역판을 입수하였다. 그리고 1년 동안 열심히 읽었다. 하지만 도처에 적혀 있는 ‘주어진(given)’이라는 단어로 인해 이 책의 의미가 무엇인지 도저히 알 수 없도록 만드는 것이 아닌가! 이 책에 적힌 ‘주어진’은 한 가지 의미가 아니라, 다중적인 의미를 지닌 용어였다. 그리고 그 다중적인 의미가 수학교육적 가치를 드높여 줄 수 있음을 깨닫게 되었다. 그리고 4년 전 또 다른 자료론에 대한 번역판을 가지게 되었는데, 그 책이 바로 본 번역판의 원서였다. 수학학습에서 ‘주어진 것’이라는 요소는 수학문제해결에서 결정적인 역할을 한다. 실례로 러시아의 깔야긴은 수학문제의 네 가지 구성요소 중의 하나로 ‘주어진 것’을 언급하였는데, 이것으로부터 문제가 해결될 수 있다고 보았다. 그 중요한 ‘주어진 것’의 수많은 비밀이 바로 이 책
에 담겨 있는 것이다. ‘주어진 것’이 가지는 수학적 가치가 유클리드라는 위대한 수학자에 의해 풀린 것이다. 이 책이 ‘주어진 것’의 위대한 비밀을 담고 있기에 수학교육을 위해 매우 유용한 자료가 될 것으로 판단된다. -옮긴이 머리말 중에서-
이 책은 번역하는 수년 동안 나에게 많은 고민을 안겨다 준 것으로 기억한다. 특히 1993년 맥도웰((McDowell)과 소콜릭(Sokolik)에 의한 ‘Euclid’s Data’의 다른 번역본이 먼저 출판되어 나온 것이 가장 큰 고민이었다. 그럼에도 불구하고 맥도웰과 소콜릭의 번역본은 오류가 불과 한 쪽 분량의 정오표에 의해 교정될 정도로 잘 정리된 것이었다. 또한, 이들의 번역본에 의해서 유클리드 ‘자료론(The Data)’에 대한 강력한 인상을 남겼다. 하지만 이것을 모두 읽고 난 이후에, 나는 고대의 유명한 주석가인 파푸스(Pappus)와 마리누스(Marinus)가 품었던 것과 동일한 인상을 가지게 되었다. 그것은 바로 ‘이 책은 전적으로 무엇에 관한 책인가’하는 의문이었다.
따라서 내가 이 책에 담아야 할 가장 중요한 작업으로 생각한 것은 “기존의 유클리드 <자료론> 번역본에 대한 서로 상반된 판단을 내린 새로운 번역본을 제공하여 혼돈을 가중시키려고자 하는 것이 아니라, <자료론>에 대한 수학적이고 철학적인 나의 생각을 설명하고 드러내고자 하는 것”임을 밝혀 두고자 한다.“만약에 유클리드 <자료론>에 대해 서술된 책이 존재하지 않았다면, 나는 결코 그것을 놓치지 않았을 것이다.”― 코펜하겐에서의 나의 개인적인 대화.
“유클리드와 그 당대의 수학자들에 의해 만들어진 기하학 연구에 적절한 계량적 척도(measure)는 <원론>이 아닌 <자료론> 안에서 찾을 수 있다.”
― Wilbur Richard Knorr(1986).

나는 특별히 비평적인 결과물을 출판하려고 의도하지 않는다. 아랍어로 된 자료론을 그리스어로 번역한 하인리히 멘지(Heinrich Menge)는 그리스 원어로 번역할 때, 아랍어 원문에 충실하게 매우 건전한 판단을 내리고 있었다. 이로 인해 아랍어 원문에 나오는 문자 그대로의 내용 이외의 변수를 고려한 새로운 시도는 거의 찾아볼 수 없었다. 하인리히 멘지의 번역판이 􀀎자료론􀀏의 내용을 그대로 제시하였다는 것에는 하등의 의문은 없었지만, 아랍어로 된 􀀎자료론􀀏에 결론적으로 제시되어 있는 ‘명제’에 대한 새로운 계승(succession)의 탐색과 같은 것이 존재하지 않았다. 또한 멘지의 번역본에 실려 있는 증명의 내용은 원본에 충실하게 고전적인 방법을 채택하였지만, 여기에서는 명제의 실제적인 측면(본질적 의미)에 대해서도 구체적으로 언급하였다. 그러나 전반적으로는 시간과 재정적인 문제가 결부된 새로운 교정본의 필요성을 느끼지 못하고 있다. 이러한 필요성은 멘지 번역판에 필요한 부분일 것이다. 하지만 이러한 것은 금세기에 일어나기는 쉽지 않을 것이다. 이 책은 멘지의 번역본에서 사용된 큰 틀(도구)을 그대로 유지 하겠지만, 그의 번역본과는 차별된 부분도 어느 정도는 유지할 것이다. 가장 최근의 멘지의 번역본에 대한 주석은 독일의 클리멘스 타에르(Clements Thaer, 1962)에 의해 독일어로 출판되었다. 이 책은 매우 간결하고 간명하게 현대 대수적 언어에 의해 번역되고 해석되었다. 나
는 이 책이 전적으로 다른 책으로 읽힐 것이므로, 거의 모든 점에서 그의 의견에 동의하지 않기에 더 이상 언급할 필요성이 없을 것 같다. 나의 주석은 연속적인 이야기로 생각하면 좋겠다. 이것은 결코 시종 일관되지 않다는 것이 무엇인지를 시종일관된 관점에서 시도하고 있다. 내재주의자라고 불리고 있는 것과 같이 􀀎자료론􀀏은 분석을 위한 충분한 가치가 있을 만큼 중대한 수학적 의미를 가지고 있다. 나는 가능한 <자료론>에 제시된 명제의 순서대로 분석을 진행할 것이다. 그리고 언제나 유클리드의 추론을 기억하기 위한 필요에 의해, 또한 나 자신의 이해를 돕기 위해서 보조정리들을 여러분들에게 제시할 것이다. 또한 필요에 따라서는 이 책을 번역하기 앞서 진행하였던 나의 논문(Taisbak, 1991)들도 제시하여 이해를 도울 것이다. 내가 다른 어떤 연구 주제보다 􀀎자료론􀀏에 더 집중하게 된 이후에는, 이전에 썼던 원고들도 수시로 상당 부분 개선되었다. 그리고 몇몇 어려운 질문이 나에게 남기도 했지만 해결하기 위해 지속적으로 노력했고, 그 결과 답을 얻을 수 있었다.
문장의 서술 방식에 대한 분석과 􀀎자료론􀀏에 대한 포괄적인 측면에서 보면, <자료론>은 <원론>에서는 찾아 볼 수 없는 색다른 측면이 있다. 이로 인해 <원론>의 저자는 유클리드가 아닌 다른 저자라는 의문이 있다. 그렇다면, 유클리드가 아니라면, 그는 누구일까? 알렉산드리아의 유클리드는 아마 이 저작을 직접 저술하지 않았을 수도 있지만, 고대의 선조들에 의해 내려온 정리들을 수집하고 정리하였을 것이다. 즉, <자료론>의 이론들은 그 당시에 내려져 오는 다양한 사람들의 설명이나 해석들 중에서 최고의 해석들을 체계적으로 정리한 것이다. 따라서 유클리드를 􀀎자료론􀀏의 편집자로서 생각하는 것은 전혀 문제가 없을 것으로 보인다.
나는 이 책에서 동일한 주제를 가지는 명제들은 함께 묶으려고 시도하였다. 이러한 동일한 주제로 분류하는 것이 항상 가능한 것은 아님에도 불구하고, 그것은 항상 유용한 것으로 생각한다. 이러한 구분을 통해 나는 􀀎자료론􀀏의 내용이 되풀이되는 점, 논리적이지 못한 명제들의 분할 등을 들추어낼 수 있었다. 이것은 <자료론>이 기하학적인 해석을 일관성 있게 제시한 것으로 이해하기보다는, 자연스럽지 못한 증명의 마지막을 장식하는 ‘주어짐(given)’이라는 관점에서 서술되어 있는 명제들을 잘 편집한 것으로 생각하는 것이 더 타당할 것으로 보인다. 실제로 명제들의 증명의 최종적인 형태는 그 당시 유클리드의 <원론>에서 사용된 것과 같은 Q.E.D(Quod Erat Demonstration)의 형식을 전혀 취하지 않고 있다. 저자는 철저히 Q.E.D라는 표현을 숨기고 있다가, 마지막 94번째 명제에서 처음이자 마지막으로 사용한 것이다. 이는 유클리드가 마지막에 가서야 결국 최종 목적지에 도착하였다는 생각을 한 것으로 보인다. -저자 머리말 중에서-
서문
‘주어진 것(Givens)’의 이름 아래 ·1
<원론>의 시작에서 수학적인 생략 ·3
암묵적 가정 ·4
도구 상자(tool box) ·6

1장 정의 ·8
정의 1 ~ 정의 4:기초 ·8
평면 · 11
세 개의 의문과 하나 · 13
어디에 있는가? · 13
얼마나 큰가? · 13
이것과 유사한 것은 무엇인가? · 14
여섯 개의 유사한 명제 · 15
숨은 동료(latent co-actors) · 22
수학자들에게 허용되지 않는 혹은 허용된 도구들? · 27
돕는 손길 · 29
기하학적 방법으로 · 30
크기 · 32
시작점(starting points) · 33
정의 5∼정의 8 : 원 ·38
정의 9∼정의 12 : 주어진 것만큼 더 큰 크기 ··39
정의 13∼정의 15 : 직선과 방향 ·41

2장 크기와 비 I ·42
명제 1∼명제 4 : 네 개의 공리적(?) 기초 ·42
명제 5∼명제 9 : 비의 변형 ·55
명제 1∼명제 9의 연역적 구조 ·73

3장 주어져 있는 비 만큼 더 큰 크기 ·75
정의 11 ·75
명제 10∼명제 21에 관한 개관 ·79

4장 크기와 비 II ·118
명제 22∼명제 24의 연역적 구조 ·131

5장 위치 : 거리, 방향, 평행 ·133
명제 25∼명제 38의 연역적 구조 ·169

6장 모양 : 삼각형과 다각형 ·171
정의 3 ·171
명제 55 핵심 정리? ·173
삼각형 ·177
명제 39∼명제 55의 연역적 구조 ·218

7장 등각 평행사변형 I : 상반비례 ·221

8장 넓이의 활용 I ·227

9장 비와 각 ·250
명제 56∼명제 67의 연역적 구조 ·266

10장 등각 평행사변형 II : 상반비례 ·268

11장 중복 및 독립적 명제 ·289
명제 68∼명제 83의 연역적 구조 ·311

12장 넓이의 활용 II ·314

13장 쌍곡선의 절단 : H.G. Zeuthen의 명제 86에 대한 추측 ·319

14장 원 ·343
명제 84∼명제 94의 연역적 구조 ·363

◈ 부록 A. 마리누스의 주석 ·365
◈ 부록 B. 명제 39와 I.명제 22의 대조 ·367
◈ 부록 C. 정의와 명제의 목록 ·369
◈ 참고문헌 ·393
◈ 찾아보기 ·395
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