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수학, 어떻게 가르칠 것인가?
How to Teach Mathematics, 2nd

 
지은이 : Steven G. Krantz
옮긴이 : 김부윤, 정영우
출판사 : 경문사
판수 : 1판(2013)
페이지수 : 292
ISBN : 978-89-6105-698-4
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오늘날의 수학교육은 다음과 같은 관점에서 변혁의 시대를 맞이하고 있다. 첫째, 학교수학의 초점이 “다수를 위한 최소한의 수학과 소수를 위한 고급수학”에서 모든 학생들을 위한 공통의 핵심 수학이라는 것으로 옮겨가고 있다. 둘째, 수학 수업이 “지식의 전달”이라는 권위적인 모델로부터 “배움의 자극”을 제공하는 학생 중심으로 바뀌고 있다. 셋째, 수학에 대한 대중의 태도가 무관심과 거부감으로부터 현대사회에서 수학의 역할이 중요하다는 것을 인식하는 쪽으로 바뀌고 있다. 넷째, 수학교육이 틀에 박힌 기능의 반복훈련이라는 선입견으로부터 광범위한 수학적 힘(mathematical power)의 개발이라는 관점으로 변하고 있다. 다섯째, 수학의 필요성이 진학을 위한 도구에서, 학생들의 현재와 미래에 관련된 것으로 바뀌고 있다. 여섯째, 지필 계산 위주의 수학교육에서 계산기와 컴퓨터의 적극적인 활용 쪽으로 바뀌고 있다. 일곱째, 수학을 받아들이는 대중의 관점이 규칙의 고정된 덩어리라는 것에서 패턴에 관한 왕성한 능동적 과학이라는 것으로 변하고 있다. 이러한 변혁의 시대에는 어느 분야든 경험자들이 가지고 있는 풍부한 지식과 기술의 전승이 중요한 과제이다. 교육의 세계에서도 크게 다르지 않다. 하지만 우리가 당면하고 있는 교육적 과제는 다양한 복합적인 요인으로 인해 그 해결이 쉽지는 않다. 그 해결방안 가운데 가장 최선의 방법은 숙달된 교사의 수업과 관련된 경험과 교육기술을 빨리 받아들여, 그 간격을 최소한으로 만드는 것이다. 이러한 까닭은, 경험에 바탕을 둔 교육이 그 암묵적 성질로 인해 전승이 용이하지 않기 때문이기도 하고, 수업이 교사 또는 교수에게 있어 가장 중요한 책무라는 점은 변하지 않기 때문이다.이 책은 대학의 수학교수를 위해 씌었지만, 굳이 수학교수로 한정할 필요는 없다. 교수를 교사로 바꾸어 읽으면, 이 책은 교육기술이 몸에 배지 않는 초⋅중등 예비교사와 초임교사, 그리고 수년간의 경험을 가지고 있는 교사들을 대상으로, 중핵적인 교육기술을 어떻게 받아들여서 절차탁마할 것인가에 대한 답을 찾고 있다. 이를 위해 제1장에서는 가르치는 것과 관련된 주제들— 존중, 수업 준비, 시간 관리, 목소리 조절, 컴퓨터의 사용 등 — 을 다루고,제2장에서는 실제로 좋은 수업을 위한 기술적인 요소들 — 목소리, 시선, 판서, 신체언어, 숙제, 면담시간, 수업설계, 유인물, 강의평가, 시험, 평가, 강의계획표, 대형 강의, 소규모학급과 대규모학급, 슬라이드 사용, 튜터, TA, 추천서 작성 등 — 의 실천방법을 다루며, 제3장에서는 가르치는 것과 관련된 철학적인 주제들 — 개인적인 측면, 태도, 관심, 마음 터놓기, 수학교사의 필요성, 수학 불안, 학생들은 어떻게 배우는가?, 귀납법과 연역법, 교수법 개혁 등
— 을 다루며, 제4장에서는 가르치는 데 있어 발생하는 난제들 — 부정행위, 늦게 제출하는 과제물 처리, 불완전한 이수, 학생들에 대한 실망, 성가신 질문, 수업중의 기강 문제와 실수, 상담, 학생들의 애걸과 항변 등 — 을 다룬다. 저자인 크란츠는 교수법에 대한 질문에 유용한 답변이 많았음을 입증하기 위해 G. E. Andrews의 , R. Askey의 , D. M. Bressoud의 , W. J. Davis의 , Ed Dublinsky의 , D. H. Hallett의 Think Mathematically?>, D. Klein의 , W. McCallum의 , K. C. Millett의 , J. J. Khl의 , H. Wu의 , S. Zucker의 인 12편의 부록을 개정판에 추가했지만,
분량관계로 번역본에 싣지 못한 것은 아쉬움이 남는다. 이 책에서 다루고 있는 수업 기술은 교사 스스로 기술을 성찰할 때의 실마리라고 해도 좋다. 초임교사로부터 숙련된 교사에 이르기까지 교사들이 교직생활을 여러 해 한 뒤에 이 책에서 다루고 있는 대부분의 기술이 각자의 레퍼토리에 들어가기를 기대한다. 또한 수업 기술은 수업이라는 맥락 속에서 보이는 세계와 일체가 되는 기술이므로, 이를 통해서 수업이 전체적으로 보이는 교사로 성장해가기를 바라는 마음 간절하다.
-옮긴이 머리말 중에서-
“[어떤 수학자가 교수법에 대해 말하면], 할아버지가 국물을 웃옷에 흘렸을 때 가족들이 미소 짓는 것과 같이 동료들은 서로 관대하게 웃는다.” 1988년 클레멘스(Herb Clemens)는 이렇게 표현을 했다. 그 당시 이러한 관점은 타당한 것이었다. 그러나 놀라운 사실은 이런 표현은 더 이상 사실이 아니라는 점이다. 실제로, 소위 ‘교수법 개혁(Teaching reform)’ 운동이 가져온 가장 큰 성과는 우리 모두가 교수법에 관심을 갖도록 또는 관심을 갖게 강요해 왔다는 것이다. 과거에 교수법에 관심이 없었다는 부끄러움을 걱정하지 말라! 이제 우리는 진정 관심을 갖게 되었고, 이것으로도 좋은 일이다. 물론 또 다른 관점도 있다. 사고의 ‘개혁’ 학파들은 발견학습, 협동학습(cooperative learning)과 집단학습(group learning), 테크놀로지의 사용, 고차원의 기능을 지지하고, 기계적 학습과 반복은 경시한다. 이와는 대조적으로
전통주의자들은 강의가 계속 이루어지기를 원하며, 학생들이 전통적인 연습문제를 공부하기를 원하고, 학습과정에서 솔선하기를 원하며, 학생들을 계속 연습시키기 원한다. 분명히 두 관점 모두 장점이 있다. 다행스러운 것은 양측이 서로 논의를 하기 시작했다는 점이다. 그 근거로 다음을 들 수 있다.
(1) 양쪽 캠프가 서로의 의견교환을 돕겠다는 하나의 목적을 가지고 1996년 12월 MSRI1)에서 열린 콘퍼런스([GKM]에 실린 회보 참고)(2) 개혁 교육과정에서 기본 기능(basic skills)이 새로운 역할을 하게 되고, 새로운 방식으로 자리를 잡았다는 인식 (3) 전통주의자들의 상투수단인 시범강의가 공부하려는 학생들을 끌어들이는데 있어 궁극적인 수단이 아니라는 인식 (4) 두 방법 모두 어느 것이 더 효과적이라기보다는 나름대로 장점이 있음을 알려주는 연구가 있다는 사실 (5) 두 가지 관점의 결합을 시도한 미적분학 책의 새로운 경향([STEW]참고). 이 책의 독자들은 나를 전통주의자로 잘 알고 있을지 모르겠지만, 사실은 개혁운동의 많은 좋은 점을 체험하는 사람이다. 첫째, 개혁운동이 우리에게 전통적인 방법론을 재평가하도록 가르쳐 주었다. 우리는 일을 끝내는 방법이 하나 이상 있다는 것을 깨닫게 되었다. 또한 우리에게 20세기 수학의 사회문화론적(sociological)인 기반에 대한 것도 가르쳐 주었다. 또한 우리의 가장 큰 자랑이 취약점이라는 것도 안다. 구체적으로 말하면, 20세기 수학의 가장 위대한 성과는 모든 것을 엄밀한 기초 위에 두려는 힐베르트/부르바키(Hilbert/Bourbaki) 프로그램을 (가능한 범위까지) 실행해 왔다는 점이며, 따라서 수학을 공리화하였다. 즉, 우리는 모든 것에 대해 엄밀한 정의를 하고 있다. 이런 성과들이 우리의 세계관을 미적분학 강의실에까지 곧장 적용시키게
하였다는 것은 나쁜 소식이다. 우리가 스스로에게 오캄의 면도날(Occam’s Razor)2)에 따라 엄격하게 사고하도록 가르쳐왔기 때문에, 우리는 그것이 미적분학 교실에서도 통용되는 담화(discourse)의 방법이라고 생각한다. 아마 이러한 관점은 근시안적일 것이다. 첫째, 학생들(다른 사람들도 마찬가지로)은 일반적으로 (상의하달식(top-down)으로부터) 공리적으로 배우지 않는다. 많은 경우에 있어 학생들은 (하의상달식(bottom-up)으로부터) 귀납적으로 배우는 것이 좀 더 자연스럽다. 물론 사람들이 어떻게 배우는가에 대한 질문은 거슬러 올라가면 베스와 피아제(Beth and Piaget, [BPA])와 같은 교육이론가들의 연구 대상이었고, 앞으로도 계속 그러할 것이다. 그러나 이 책의 곳곳에서 언급했듯이, 학생들은 일련의 공리들을 응시할 수 없으며, 노련한 수학자가 하는 것과 똑같은 방법으로 “무엇을 하고 있는지를 알 수” 없다는 것을 수학 교사들은 깨달아야 한다. 대개 학생들은 처음에 예제를 이해하는 것이 더 자연스럽다. 둘째, ‘증명’의 개념이 상대적인 것이라는 것을 깨달아야 한다. 수학적 사실이나 정리들은 독립적인 실재이며, 자기 자신만의 삶을 갖는다. 그러나 증명은 주로 ‘무엇이 사실이다.’라는 것을 다른 사람에게 확신시키기 위한 심리학적 장치이다. 교육을 받은 수학자는 동료가 받아들일만한 증명을 만들어내기 위한 형식주의(formalism)를 배운다. 그러나 대학의 신입생은 그렇지 않다. 신입생들에게 있어 믿을만한 증명이란 적당한 그림이나 그럴 듯한 설명이다. 이런 통찰력만으로도 평범한 교사를 훌륭한 교사로 바꿀 수 있다. 강의실을 가득 메운 신입생들에게 지식 면에서 “올바른 것을 했다.”고 확신하면서, 우리는 (소위, 미적분학의 기본 정리에 대한) 매우 엄밀한 증명을 보여주지만, 학생들이 그것을 전혀 이해하지 못했다는 것을 부지불식간에 알게 되었다면 무슨 의미가 있겠는가? ‘증명:’보다는 ‘이것이 왜 참인지에 대한 아이디어가 있습니다.’로 대체하는 것이 교수학적 기교로 더욱 온화하다. 후자처럼 말한다고 해서, 당신이 부정직하다는 것은 아니다. (실제로, 당신은 어떤 것이 매우 엄밀한 증명이라고 주장하지는 않았다.) 대신에 학생들과 중도에서 만난 것이다. 당신은 학생들의 언어로 그들에게 말한 것이고, 그들의 축적된 직관에 호소한 것이다. 당신은 학생에게 무언가를 가르쳤다. 설득은 여러 측면을 갖는다는 점을 늘 명심해 두어라. 미적분 수업에서 엄밀한 증명이 아닌 설명을 하려면, “이것은 증명이 아니 라 하나의 비형식적인 설명입니다.”라고 말하는 사람들이 있었던 토론을 목격한 바 있다. 물론 이러한 태도는 20세기 수학적 가치의 결과이며, 나도 이 점은 인정한다. 그러나 좋은 교수법이라고는 생각하지 않는다. 우선, 이런 것은 학생들을 따분하게 만들고 사기를 저하시킨다. 대신 교사는 “왜 이것이 참인지 생각해 봅시다.” 또는 “여기에 어떻게 될지 보여주는 상황이 있습니다.”라고 말하며 훨씬 친숙한 방법으로 똑같은 메시지를 전달한다. 내가 속해 있는 수학과는 “transition(전이)” 과정을 개설해 놓았는데, 이 과목에서 학생들은 논리(first-order logic), 기초집합론(naive set theory), 동치관계와 동치류(equivalence relations and classes), 수 체계의 구성, 공리적 방법을 배운다. 학생들은 아주 초보적인 수준에서 자신의 증명법을 어떻게 구성할지를 배우게 된다. 학생들은 일반적으로 이 과정을 미적분학, 선형대수학, 상미분방정식을 수강하고 난 뒤에, 추상대수학과 실해석학을 수강하기 전에 배운다. 그러나 나는 전이 과정을 가장 먼저 배워야 한다고 생각한다. 그 과정 이전에는 학생들은 형식적인 증명을 위한 준비가 되어 있지 않다. 우리는 학생들의 관용구에 교수법을 적용시켜야 한다. “전이” 과정을 수강한 이후에 학생들은 좀더 정교해졌다. 비로소 학생들은 관용구를 배울 준비가 되어있었다. <<어떻게 수학을 가르칠 것인가?(How to Teach Mathematics)>>가 처음 발행된 이래 5년 동안, 나는 교수법에 대해 많은 것들을 배웠기 때문에, 이
책의 수정판을 쓰기로 결심했다. 교수법 개혁 운동은 성숙해 왔고, 우리들 역시 성숙해졌다. 이제 나는 무엇이 좋은 교수법을 구성하고 있는지 예전보다 더 많이 알게 되었다고 생각한다. 나는 정기적으로 대학원 세미나에서 ‘교육경력(career in teaching)’에 대해 박사과정 진학희망자들이 준비하는 데 도움이 되도록 가르치고 있으며, 이런 훈련을 어떻게 진행해야 할지 더 잘 알고 있다. 따라서 개정판을 통해 새로운 식견을 나누고자 한다. 가장 잘 알려진 수학적 오류 중 하나는 특히 최적화 문제의 학습에 있어, 문제가 해를 가진다고 가정하는 것이다. 리만사상정리(Riemann mappingtheorem)에 대한 리만(Riemann)의 최초의 증명은 이러한 오류의 극단적
예이지만, (예를 들어) 변분학(the calculus of variations)에서는 다른 예들이 흩어져 있음은 분명하다. 왜 우리는 힘들게 얻은 지식을 다른 측면의 전문적인 삶에 적용하지 못하는가? 왜 우리는 미적분을 가르치기 위한 ‘최상의(best)’ 방법, 또는 ‘최고의’ 교재가 있다고 생각하는가? 가르치는 일은 개인적인 활동이며, 가르치는 사람마다 각자 다르게 가르칠 것이다. 어떤 사람에게는 효과가 있는 기법이 다른 사람에게는 그렇지 않을 수도 있다. (또한 어떤 교실에서 효과가 있는 교수법이 다른 교실에서 반드시 효과가 있는 것은 아니다.) 일단의 유용한 교수기법들이 존재한다는 것, 그리고 교사 자신과 학생들에게 효과가 있는 방법을 교사 각자가 선택해야 한다는 것에 동의할 필요가 있다고 생각한다. -저자 머리말 중에서-
제 1장 지도 원리 _1
1.0 개요 · 3
1.1 존중 · 3
1.2 존중에 대해 · 6
1.3 강의 준비 · 11
1.4 명료성 · 15
1.5 말하기 · 17
1.6 강의 · 18
1.7 질문 · 25
1.8 고급과정 · 30
1.9 시간 · 32
1.10 컴퓨터 · 36
1.11 수학의 활용 · 46
1.12 무어식 교수법 · 52

제 2장 실천적 방법 _55
2.0 개요 · 57
2.1 목소리 · 57
2.2 시선 · 61
2.3 판서 기법 · 63
2.4 신체언어 · 68
2.5 숙제 · 71
2.6 면담시간 · 73
2.7 수업 설계 · 78
2.8 유인물 · 80
2.9 강의평가 · 82
2.10 시험 · 90
2.11 평가 · 101
2.12 강의계획표와 강의 다이어리 · 106
2.13 교재 선택 · 108
2.14 대형 강의 · 115
2.15 소규모 학급 vs. 대규모 학급 · 123
2.16 연습시간 및 복습시간 · 125
2.17 슬라이드 사용 · 128
2.18 개인교사 · 132
2.19 조교 · 134
2.20 조언, 추천서 그리고 대학원 · 136

제 3장 정신적인 문제들 _139
3.0 개관 · 141
3.1 개인적인 측면 · 141
3.2 태도 · 145
3.3 관심 · 152
3.4 마음을 터놓기 · 154
3.5 수학교사를 왜 필요로 할까? · 156
3.6 수학 불안 · 162
3.7 학생들은 어떻게 배우는가? · 165
3.8 귀납법과 연역법 · 170
3.9 강의 대상은 누구인가? · 175
3.10 교수법 개혁 · 179
3.11 조언자와 신참자 · 187
3.12 질문과 대답하는 방법 · 190
부록: 수업 참여 권장을 위한 몇 가지 제안 · 194
3.13 인터넷을 이용하여 가르치기 · 198
3.14 담화의 기술 · 201
3.15 연구에 대해 · 203
3.16 내가 미적분을 다시 가르쳐야 하나? · 205

제 4장 난제들 _207
4.0 개관 · 209
4.1 비-원어민 · 209
4.2 늦게 제출된 과제물 · 212
4.3 부정행위 · 213
4.4 불완전 이수 · 216
4.5 학생들에 대한 실망 · 218
4.6 성가신 질문들 · 223
4.7 통제 · 225
4.8 수업 중의 실수 · 230
4.9 학생들과의 상담과 유대 · 232
4.10 성차별, 인종차별, 여성 혐오 및 이들과 관련된 문제 · 234
4.11 학생들의 애걸과 항변 · 238

제 5장 새로운 시작 _243
5.0 개요 · 245
5.1 대학교수의 역할 · 245
5.2 생각을 마무리하며 · 247

문헌 목록 _249
찾아보기 _257
수학사 [경문수학산책 04]
-Eves-
 
 
위상수학기초론
-장영식-
 
 
실해석학 개론(2판)
-정동명/조승제-
 
 
   
 
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