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미분위상수학

 
지은이 : 조용승
출판사 : 경문사
판수 : 1판(2013)
페이지수 : 272
ISBN : 978-89-6105-716-5
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집합에 위상이라는 구조를 주어서 위상공간을 만들고, 위상공간 사이의 함수의 연속, 위상공간의 콤팩트, 연결 등의 성질을 조사하고, 위상공간을 분류하는 것이 일반위상수학이라 하고, 이는 해석학 및 기하학 발전에 근간이 되었다. 위상공간을 대수적인 측면에서 연속성을 이용한 기본군, 경계를 이용한 호몰로지군과 쌍대개념인 코호몰로지군, 호몰로지군과 코호몰로지군을 포앙카레 쌍대로서 연결등으로 연구하는 것이 대수적 위상수학이다. 위상수학은 해석학과 기하학 발전에 근간이 되었으며, 반면에 해석학의 미분적분과 미분방정식, 작용소이론은 위상수학의 드람 코호몰로지와 모세이론 발전에 기여하였으며, 또한 기하학의 곡률과 접속이론은 위상수학의 특성류, 층이론과 지표이론 발전에 크게 기여하였다. 이 책《미분위상수학》에서는 유클리드 공간으로부터 위상공간 상에 미분다양체를 정의하고 미분다양체 상에 해석학의 음함수정리와 미분기하학의 곡률과 변분법을 이용하여 횡단성, 교차수, 드람 코호몰로지, 모세이론을 배우고, 이로부터 다양체의 위상적 성질을 유도하고자 한다. 위상수학을 일반위상수학, 미분위상수학, 대수적위상수학, 특성류, 층이론, 지표이론 순으로 공부하는 것이 좋으리라 생각한다.
이 책의 구성과 내용은 다음과 같다.
제1장에서는 다양체를 유클리드 공간으로부터 정의하고 위트니 매장 정리, 탄젠트 공간, 다양체의 몰입, 매장, 침몰, 횡단성을 다루고 사드정리를 유도한다. 제2장에서는 경계를 갖는 다양체에 확장된 횡단성 정리를 소개하고, 방향을 고려하지 않은 모드2 교차수를 다양체에 이용하여 위상적 성질을 유도한다. 제3장에서는 다양체 상에 방향을 정의하고 횡단성을 이용하여 교차수를 정의하며 러프셔츠 고정점 정리, 푸앵카레-호프 정리, 호프의 차수정리를 유도하고, 다양체의 오일러 지표와 삼각분할을 소개한다. 제4장에서는 벡터공간의 외대수를 미분다양체에 적용하여 미분폼과 드람 코호몰로지를 정의하고, 심프리셜 콤프렉스 상에 심프리셜 코호몰로지를 정의하고, 모든 미분다양체는 심프리셜 콤프렉스화할 수 있음을 이용하여 드람 정리를 증명한다. 이로부터 드람 코호몰로지는 위상적 불변량임을 유도한다. 드람 코호몰로지를 이용하여 스토크스 정리, 차수공식, 가우스-보네 정리를 증명한다. 제5장에서는 미분다양체에서 실수로 가는 모세함수를 정의하고, 임계점수와 베티수 관계를 말해주는 모세부등식을 유도한다. 미분기하학에서 곡률텐서, 측지
선, 변분계산과 자코비장을 소개하고 이를 경로공간에서 실수로 가는 에너지 함수를 이용하여 경로공간의 위상적 성질을 유도하고, 자코비 방정식의 곡률을 이용하여 다양체의 위상적 성질을 유도한다. 이 책에서는 다양체 상에서 미분과 적분을 하기 위하여 다른 언급이 없으면 모든 다양체는 미분다양체(differentiable manifold)이며 사상은 매끄러운 사상(smooth map)이며, 거의 모든 수학적 용어는 서양에서 들어와서 정확한 우리말 찾기가 힘든 것은 한글용어의 괄호 안에 영어를 병기하였다. -머리말 중에서-
1  다양체 상의 사상(Maps on Manifolds)
1.1 유클리드 공간(Euclidean Spaces) 2
1.2 다양체(Manifolds) 4
1.3 위트니 매장(Whitney Embedding) 9
1.4 탄젠트공간(Tangent Spaces) 10
1.5 몰입과 매장(Immersion and Embedding) 15
1.6 침몰(Submersion) 20
1.7 횡단(Transversality) 26
1.8 사드정리(Sard Theorem) 29

2  횡단(Transversality)
2.1 경계를 갖는 다양체(Manifolds with Boundary) 38
2.2 일차원 다양체(One-dimensional Manifolds) 44
2.3 횡단(Transversality) 46
2.4 모드2 교차수(Mod 2 Intersection Numbers) 54
2.5 모드2 교차수의 응용(Applications of Mod 2 Intersection Number) 58

3  교차수(Intersection Numbers)
3.1 방향(Orientation) 64
3.2 교차수(Intersection Numbers) 70
3.3 러프셔츠 사상(Lefschetz Maps) 80
3.4 푸앵카레-호프 정리(Poincaré-Hopf Theorem) 91
3.5 호프 차수 정리(Hopf Degree Theorem) 98
3.6 오일러 지표(Euler Characteristic) 101

4  드람 코호몰로지(De Rham Cohomology)
4.1 미분다양체(Differentiable Manifolds) 106
4.2 미분폼(Differential Forms) 116
4.3 드람 코호몰로지(De Rham Cohomology) 118
4.4 심프리셜 코호몰로지(Simplicial Cohomology) 133
4.5 드람 정리(De Rham Theorem) 144
4.6 스토크스 정리(Stokes Theorem) 161
4.7 차수공식(Degree Formula) 166
4.8 가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet Theorem) 171

5  모세이론(Morse Theory)
5.1 모세함수(Morse Functions) 178
5.2 모세 부등식(Morse Inequality) 181
5.3 곡률텐서(Curvature Tensor) 187
5.4 측지선(Geodesics) 199
5.5 변분계산(Calculus of Variation) 212
5.6 자코비장(Jacobi Fields) 223
5.7 경로공간의 위상(Topology of Path Space) 234
5.8 위상과 곡률(Topology and Curvature) 245

▪참고문헌 253
▪찾아보기 255
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