경문사

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선형대수학과 응용

 
지은이 : 김홍철
출판사 : 경문사
판수 : 1판(2014)
페이지수 : 358
ISBN : 978-89-6105-749-3
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선형대수학은 이차원 데이터를 병렬로 배열하는 행렬의 수학적 모형을 통해 데이터를 효율적으로 관장하기 위한 행렬의 분해와 대응하는 벡터공간에서의 선형사상에 관한 성질과 응용을 다루는 학문으로서, 현대사회의 복합적인 여러 현상과 연계하고 아울러 컴퓨터의 연산능력이 대폭 향상됨에 따라 수치해석과 더불어 과학기술의 복합적인 수요에 부응하기 위한 지표와 표준을 모색하는 주요한 통로로 인식되고 있다. 선형대수학은 행렬을 모태로 이루어지는 변환과 이에 관련된 여러 응용현상을 주요 학습주제로서 다루며, 현대사회에서 각광을 받고 있는 계산학, 암호학, 금융수학 등 융합과학의 여러 장르를 연결하는 디딤돌 및 고리의 역할을 수행하고 있다. 또한 자연과학뿐만 아니라, 공학 등의 교육 및 연구에 있어 서도 필수적인 교육과정으로 자리하고 있으며 응용과학과 수학을 접맥하는 중요한 인터페이스가 되고 있다.
선형대수학은 학부 학생들의 교육역량과 관련하여 각 대학교에서 미분적분학에 버금하여 다루는 주요 학습소재이다. 오래도록 대각화와 조르당 표준형 등 전통적인 기법에 의한 해석이 주요 통로가 되어 왔으나, 1990년대 이후 이론에 치우친 편향적인 교육을 탈피하고 실험에 기반을 둔 보다 실용적인 교육을 강화해 나가고 있는 추세이다. 그러나 이를 적극적으로 반영한 교재개발은 아직 걸음마 수준에 머물러 있다. 또한 정보해석에 대한 다양한 기법과 필요성이 대두됨에 따라 융합과학의 기저로서 행렬기법의 재표현과 재해석 등 융합과학의 견인차로서 관련 교과의 중요성이 강조되고 있다. 이에 따라 선형대수학의 주요 핵심 소재들을 체계적으로 정비하여 학생들이 보다 수월하게 주제를 이해하고 여러 실용적인 목적에 이를 활용할 수 있도록 도움을 주고자 하는 취지에서 이 책을 집필하게 되었다. 그리고 이러한 목적에 부합하도록 되도록이면 추상적인 서술을 지양하고, 비교적 간결하고도 구체적인 논리전개와 내용을 적절하게 반영하는 예제와 연습문제를 배치하여 보다 쉽게 주제를 이해하는데 도움을 줄 수 있도록 책을 구성하려고 노력하였다. 이 책은 모두 7장으로 이루어져 있다. 제1장은 선형대수학의 기초과정으로서 연립일차방정식의 해법에 관한 내용을 중심으로, 가우스 소거법을 토대로 역행렬과 행렬의 LU 분해를 다루었다. 제2장에서는 행렬식의 주요한 성질을 다루고, 크레이머 규칙을 이용하여 연립일차방정식의 해를구하는 방법이나 역행렬을 구하는 방법 등을 소개하였다. 제3장에서는 차원 실수공간을 기반으로 벡터와 벡터공간, 기저 및 좌표, 그리고 연립일차방정식과 관련된 행렬의 행공간과 열공간의 주요 관점을 언급하였다. 제4장은 선형사상과 연계하여 행렬 및 기저의 변환과 행렬의 닮음을 주요한 소재로 다루었다. 내적공간은 벡터에 직교성을 부여하는 주요한 기재이다. 제5장에서는 내적공간에서 그람-슈미트 직교화 과정 및 하우스홀더 변환과 이에 따른 행렬의 QR 분해를 이용하여 데이터 해석에 관한 최적화의 기법에 이를 활용하는 방법을 다루었다. 행렬의 고유값과 고유벡터는 행렬의 구조적인 특성을 견인하는 핵심적인 장치이다. 제6장에서는 행렬의 고유값문제를 알아보고 이를 이용하여 주어진 행렬을 대각화하는 기법과 여러 응용문제, 그리고 이차형식의 기하학적 표현 및 양의 정부호 행렬에 대한 특성과 촐레스키 분해를 다루었다. 마지막으로 제7장에서는 복소벡터공간에서 에르미트, 유니타리, 정규행렬 등에 관한 스펙트럼 정리와 행렬의 조르당 표준형을 기반으로 하는 행렬의 닮음 관계, 그리고 행렬의 특이값분해와 유사역원을 취급하였다. 이 책은 자연계나 공과대학의 분야에 따른 특성과 필요에 맞추어 일부소재를 선택적으로 조정함으로서 일주일에 3시간 정도로 한 학기에 학습할 수 있도록 편성되었다. 학생들이 쉽게 원리를 이해하고 문제풀이 능력을 키워나갈 수 있도록 단계별로 필요한 예제를 제시하였고, 각 절의 끝에 적절히 연습문제를 배치함으로서 학생들이 자율적으로 학습내용을 검토하고 이를 기반으로 심화된 탐구활동을 수행하도록 배려하였다. 그리고 이 책에서는 대한수학회의 수학 용어의 표준화에 부응하여 가급적 이에 준한 한글 용어를 사용하였다. 모쪼록 이 책을 통해 학생들이 선형대수학의 핵심 주제를 보다 쉽게 이해하고 이를 토대로 수학에 좀 더 자신감과 친밀감을 느껴 전공에 대한 포괄적인 이해를 돕고 아울러 학업에서도 큰성취감을 이루는 자그마한 동기가 되기를 바라마지 않는다. -머리말 중에서-
1장 연립일차방정식과 행렬
1.1 연립일차방정식 2
1.2 행렬과 행렬연산 9
1.3 가우스 소거법 21
1.4 역행렬과 연립일차방정식 34
1.5 블록행렬 45
1.6 행렬의 LU 분해와 연립일차방정식 52

2 행렬식
2.1 행렬식 68
2.2 행렬식의 성질과 응용 81

3 벡터공간
3.1 벡터와 벡터공간 96
3.2 기저와 차원, 좌표 109
3.3 행공간과 열공간 127

4 선형사상
4.1 선형사상 140
4.2 선형사상과 행렬 149
4.3 기저의 변환과 행렬의 닮음 167

5 내적공간과 직교화
5.1 내적공간 178
5.2 직교성 191
5.3 그람-슈미트 직교화 과정과 QR 분해 199
5.4 하우스홀더 변환과 QR 분해 207
5.5 최소제곱문제와 최적화 215

6 고유값과 대각화
6.1 고유값과 고유벡터 230
6.2 행렬의 대각화 239
6.3 대각화의 응용 253
6.4 이차형식 266
6.5 양의 정부호 행렬과 촐레스키 분해 279

7 복소벡터공간
7.1 복소수의 기본성질 292
7.2 복소내적공간 296
7.3 에르미트, 유니타리, 정규행렬 302
7.4 조르당 표준형과 케일리-해밀턴 정리 315
7.5 행렬의 특이값분해와 유사역원 333

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