경문사

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조합론

 
지은이 : 송용진, 김석진, 오병권, 서인석
출판사 : 경문사
판수 : 1판(2015)
페이지수 : 304
ISBN : 978-89-6105-874-2
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본 교재는 대한수학회에서 집필하는 한국수학올림피아드(KMO) 교재 시리즈 중 첫 번째로 출간되는 교재이다. 본 교재는 비단 수학올림피아드를 준비하는 독자들 만을 대상으로 집필한 것이 아니라 수학을 전공하는 대학생들, 심화수학을 공부하고자 하는 과학고, 과학영재고 학생 등 다양한 독자들을 위한 표준적인 조합론 교재로 개발되었다. 본 교재는 많은 사전 지식이 없이도 조합론 분야를 공부하고자 하는 독자들이 가능한 한 쉽게 접근할 수 있도록 초보적인 내용부터 시작하고 있고, 경우의 수, 생성함수, 수과 알고리즘, 그래프 이론 등 조합론을 이루는 핵심적이고 기초적인 내용들만을 주로 담고 있다. 본 교재의 가장 큰 특징은 상대적으로 많은 예제와 다양한 수준의 연습문제들을 담고 있는 것이라 할 수 있다. 조합론(combinatorics)이라는 명칭은 경우의 수를 구하는 기본적인 수학적 도구인 순열과 조합(combination)으로부터 유래되었고, 주로 어떤 경우의 수 또는 어떤 구조의 크기 등을 구하거나, 어떠한 사건이나 구조가 일정한 조건(criteria)을 만족하는 때가 언제인지를 알아내거나, 그러한 상황에서의 최댓값, 최솟값을 구하는 문제 등을 다루어 왔다. 초창기에는 현실 세계에서 제기되는 잡다한 문제들 또는 정수론, 대수학, 기하, 이론적 컴퓨터과학 등에서 등장하는 조합적 문제들에 대하여, 문제에 따라 별도의 해법을 고안해 내어 해결하는 데 그치다가, 점차 문제들을 해결하는 데 사용되는 고급의 이론들이 개발되고 축적되어 20여 년 전부터는 현대수학의 핵심적 분야로 자리매김하고 있다. 그래프 이론(graph theory)은 조합론에서 특별히 고전적이고 활용도가 높은 분야이다. 조합론은 좀 더 넓은 의미로 이산수학(discrete mathematics)이라고도 불린다. Discrete mathematics라는 명칭은 이 분야에서 다루는 것이 연속적인 수(continuous number)인 실수(나 복소수)가 아니라 주로 정수(나 유리수)와 같은 이산적인 수(discrete number)라는 것으로부터 유래되었다. 조합론은 이산수학의 한분야로 볼 수도 있지만, 실제로는 (적어도 대학교 학부 수준까지는) 두 명칭을 별구별 없이 사용하고 있다. 우리나라에서는 고등학교 선택과목에 이산수학이라는 명칭이 채택되었기 때문에 (그것은 아마도 조합‘론’이라는 명칭이 대학 수준 이상의 고급 수학의 이미지가 있기 때문이었을 것이다) 독자들에게는 이산수학이라는 명칭이 조합론이라는 명칭보다는 친근하게 다가올 수도 있겠다. 본 교재의 제목을 ‘조합론’이라고 한 것은, 대다수 대학의 수학 전공과정에서 오래 전부터 조합론이라는 이름을 채택하고 있고 이 교재가 그러한 과목의 교재 또는 부교재로 채택될 수 있다는 점과 국제수학올림피아드(IMO)에서 ‘combinatorics’라는 명칭을 쓰고 있다는 점을 고려했기 때문이다. 본 교재의 내용을 이해하는 데에는 사전 지식이 그다지 많이 필요하지 않다. 중학생, 고등학생들도 충분히 혼자서 공부할 수 있도록 그 내용을 구성하였다. 약간의 정수론의 지식, 약간의 부등식 공식 등이 필요한 부분이 있기는 하지만 그러한 부분은 일단 건너뛴 후 추후에 지식을 습득한 후에 공부해도 되고, 전체적으로는 기본적인 논리적, 수리적인 능력만 있으면 충분하도록 교재의 내용을 구성하였다. 조합론은 원래 많은 수학적 지식보다는 깊은 수학적, 논리적 사고력이 더 요구되는 분야이다. -머리말 중에서-
1단원 조합적 사고의 기초 ■1
1.1 경우의 수의 기초이론 · 2
(1) 순열과 조합 · 4
(2) 이항정리와 조합등식 · 18
(3) 포함배제의 원리 · 22
❙연습문제 · 28

1.2 경우의 수의 심화이론 · 33
(1) 전단사를 이용한 증명 · 34
(2) 이중세기의 기본 원리 · 48
(3) 이중세기의 활용 · 56
❙연습문제 · 67

2단원 생성함수와 수의 알고리즘 ■77
2.1 점화식과 생성함수 · 78
(1) 점화식과 그 활용 · 78
(2) 생성함수 · 96
❙연습문제 · 107
2.2 수와 알고리즘 ·113
(1) 수와 규칙성 ·113
(2) 이진법의 활용 · 126
❙연습문제 · 131

3단원 그래프 이론의 기초 ■135
3.1 그래프 이론의 기본 개념 · 138
(1) 점의 차수 · 138
(2) 그래프의 경로와 회로 · 142
(3) 여러 가지 그래프 · 145
❙연습문제 · 154
3.2 연결그래프와 수형도 · 155
(1) 연결그래프 · 155
(2) 수형도와 회로가 없는 그래프 · 158
❙연습문제 · 166
3.3 이분그래프와 길이가 홀수인 회로 · 170
(1) 여러 가지 이분그래프 · 170
(2) 이분그래프와 길이가 홀수인 회로 · 173
❙연습문제 · 180
3.4 극단 그래프 이론의 기초 · 182
(1) 튜란의 정리 · 183
(2) 여러 가지 극단 그래프 이론의 문제들 · 190
(3) 완전매칭과 결혼정리 · 198
❙연습문제 · 210

4단원 그래프 이론의 응용 ■215
4.1 램지 이론과 그 활용 · 216
(1) 램지문제 · 216
(2) 램지문제의 일반화 · 223
(3) 램지 유형의 문제 · 228
❙연습문제 · 233
4.2 오일러회로와 해밀턴회로 · 235
(1) 오일러회로, 오일러경로와 한붓그리기 · 235
(2) 해밀턴회로 · 242
❙연습문제 · 250
4.3 평면그래프와 채색문제 · 251
(1) 평면그래프의 성질 · 251
(2) 채색수와 채색문제 · 259
❙연습문제 · 267
4.4 유향그래프 · 270
(1) 유향그래프의 기초 · 270
(2) 토너먼트의 성질 · 279
❙연습문제 · 285

참고문헌 · 289
찾아보기 · 290
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