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미분기하학개론-교원 임용고시를 대비하기 위한 수학이론과 문제풀이 시리즈 8

 
지은이 : 김광회
출판사 : 경문사
판수 : 1판(2015)
페이지수 : 506
ISBN : 978-89-6105-919-0
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제1,2,3장에서는 곡선의 성질을 다루었다. 특히, 공간곡선이 어느 정도 휘어져 있고비틀어져 있는지에 대하여 알아보았다. 이러한 개념이 곡률(curvature)과 열률(torsion)이다. 곡선
의 곡률과 열률은 각각 접선방향과 종법선방향의 변화율을 의미한다. 여기서 공간곡선은 국소적으로 불변인 곡률과 열률에 의하여 완전히 결정된다는 것을 보였다. 제4장 이후부터는 곡면론에 관한 것이다. 직관적으로 곡면은 국소적으로는 평면의 일부와 근사를 이룬다고 할 수 있다. 이러한 관점에서 곡면은 좌표조각사상(coordinate patches)들의 상(image)으로 이루어져 있다고 생각한다. 이에 관해서는 제4장에서 보였다. 곡선론에서와 마찬가지로 곡면도 어떤 국소적으로 불변인 제1,2기본형식에 의하여 완전히 결정된다는 것을 제5장에서 보였다. 제6,7장에서는 텐서를 사용하여 곡면론을 설명하였다. 특히, 제7장에서는 측지곡률과 측지선, 그리고 Gauss-Bonnet의 정리를 다루었다. 이 책은 McGraw-Hill에서 출판한 Schaumm's Outline Series 중에서 Matine M.Lipschutz가 저술한 “Differential Geometry”의 내용을 재구성하여 자세하게 서술하였다. 특히, 미분기하학을 이해하는 데 도움을 주기 위하여 많은 그림을 통하여 이론 내용을 알기 쉽게 설명하였고 문제의 해답을 제시하였다. -머리말 중에서-
0장 예비지식 1
1. ℝ3 위에서의 벡터 4
2. 위상 15
3. 실변수의 벡터함수 34
4. 벡터변수의 벡터함수 46
1장 곡선의 개념 77
1. 정칙곡선 78

2. 호장의 정의 93
2장 곡률과 열률 101
1. 곡률 102
2. 열률 120
3. 구면곡선 126

3장 곡선론 131
1. 세레-프레네 방정식 132
2. 자연방정식 133
3. 공간곡선에 대한 기본 존재정리와 유일성정리 135
4. 곡선의 표준적 표현 140
5. 신개선 143
6. 축폐선 147
7. 접촉이론 150
8. 접촉곡선과 접촉곡면 155

4장 곡면론 165
1. 정칙매개변수표현 166
2. 좌표조각사상 171
3. 단순곡면 177
4. 접평면과 법선 185
5. 단순곡면의 위상적 성질 192

5장 제1, 2기본형식 205
1. 제1기본형식 206
2. 호장과 곡면의 겉넓이 212
3. 제2기본형식 217
4. 법곡률 228
5. 주곡률과 주방향 237
6. 가우스곡률과 평균곡률 246
7. 곡률선 250
8. 로드리게스의 공식 257
9. 점근선과 공액 곡선족 260

6장 곡면론의 텐서해석 273
1. 기호 274
2. 기본다양체(elementary manifolds) 277
3. 텐서 279
4. 텐서대수 287
5. 가우스-바인가르텡의 공식 290
6. 곡면론의 방정식에 텐서의 응용 294
7. 양립방정식과 가우스의 정리 302
8. 곡면의 기본정리 305
9. 곡면 위의 대역적 정리 313

7장 본질적 기하학 323
1. 곡면의 사상 324
2. 등장사상과 본질적 기하학 329
3. 측지곡률 335
4. 측지선 341
5. 측지좌표 348
6. 측지적 극좌표 355
7. 최소길이의 호 364
8. 정곡률곡면 367
9. 가우스-보네의 정리 378
10. 야코비의 정리 389

■ 해답 397
■ 참고문헌 487
■ 찾아보기 489
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