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위상수학, 제4판  무료배송

 
지은이 : 박대희, 안승호
출판사 : 경문사
판수 : 4판(2018)
페이지수 : 1078
ISBN : 979-11-6073-126-2
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위상수학(位相數學, topology)은 위치(位置)와 형상(形相)의 학문이라는 뜻이다. 위상수학의 유래에 관해서는 여러 가지 설이 있다. 푸앵카레(H. Poincare)의 위치해석(analysis situs)에서 비롯되었다고 하는 것이나, 칸토어(G. Cantor)의 집합론(set theory) 내지는 새로이 출현한 여러 가지 추상공간이 그랬다는 주장, 또는 위상수학에 관한 영역불변성의 정리를 발견하고 또 칸토어의 방법과 위치해석적 방법을 통합시킨 브라우어(L. E. Brouwer)를 위상수학의 창시자로 보는 등이 그것이다. 일부 개념은 오일러(L. Euler)와 가우스(C. F. Gauss)까지 거슬러 올라가기도 하지만, 실질적으로 위상수학은 19세기 후반 푸앵카레 및 다른 수학자들의 연구와 함께 비로소 발전하기 시작하였으며 하우스도르프(F. Hausdorff)에 의해 완성되었다. 위상수학은, 온갖 지식에 대한 철학의 관계가 그런 것처럼, 수학 전체를 통합하는 학문으로서 20세기에 그 위치를 굳혔다. 위상수학은 근방(열린집합), 극한, 연속의 직관적인 개념에 대한 추상적인 수학적 체계를 세우는 학문으로서 기하학적 대상이나 수학적으로 좀더 추상적인 대상을 연속적으로 바꾸었을 때 변하지 않는 성질들을 다룬다. 이 근원성(根源性) 때문에 위상수학은 수학의 많은 분야의 기초가 되었으며, 미처 예기치 못한 타 분야와의 결합을 매개하는 역할을 하고 있다. 위상수학 또는 적어도 그것의 일부는 현대 수학의 대부분의 분야에 퍼져 있으며, 말할 필요도 없이 현대 물리학과 깊은 관계를 맺고 있다. 또한 최근에는 데이터 분석, 네트워크 과학 등과 같은 다양한 응용분야에 활용되고 있다. 지은이는 학부과정의 수학 과목들을 다년간 강의해 오면서 학생들이 다른 어떤 과목보다도 위상수학을 어려워한다는 것을 느꼈다. 사실 위상수학을 배우기 위해서는 기초적인 집합론의 지식만 있으면 충분하다. 그런데 왜 학생들은 어려워할까? 지은이의 생각으로는 그 이유 중 하나는 학생들이 지금까지 계산 문제만을 위주로 공부하여 논리적인 사고와 증명을 힘들어 한다는 점이다(수학의 가치가 복잡한 계산에 있지 않고, 원리의 이해와 논리적 사고력을 키우는 데 있음에도 불구하고). 그리고 다른 하나는 지금까지 접하지 못한 공리를 바탕으로 한 추상적인 개념들과 공간들이 나오기 때문인 것 같다. 예를 들어 함수의 연속이란 개념은 미적분학이나 해석학 과목에서는 극한의 개념이나 - 논법을 사용하여 한 점에서 정의하였는데, 갑자기 위상수학 과목에서는 (열린)집합이란 개념을 가지고 정의하고, 눈으로 보기에는 연속이 아닌 함수가 어떤 위상을 주느냐에 따라 연속이 될 수도 있고 안 될 수도 있기 때문에 쉽게 받아들이지 못하는 것 같다. 그리고 위상수학에서의 연속이란 개념은 미적분학 또는 해석학에서의 연속의 정의를 보다 일반화한 개념임을 알지 못하고 서로 다른 개념으로 이해한다. 이러한 이유로 처음에 지은이는 보다 직관적인 공간인 거리공간만을 다루려 하였다. 그러나 위상수학에서 흥미롭게 생각하는 많은 공간들은 거리공간이 아니다. 그리고 대학원 진학 문제 또는 중등교사 임용고시 문제에서 거리공간이 아닌 공간을 많이 다루고 있다. 이러한 이유로 이 책을 거리공간만으로 한정할 수가 없었다.  -머리말 중에서-
상권
제1장 집합론†
1.1 기초논리 2
1.2 집합과 연산 10
1.3 동치관계와 분할 23
1.4 함수와 곱집합 27
1.5 선택공리와 순서집합 37
1.6 가산집합 50

제2장 유클리드공간
2.1 실수 집합 R의 성질† 66
2.2  Rn상의 열린집합 73

제3장 위상공간
3.1 위상공간(topological space) 92
3.2 기저(basis)와 부분기저(subbasis) 102
3.3 거리공간(metric space) 119
3.4 부분공간(subspace) 131
3.5 순서위상(order topology) 140

제4장 열린집합과 닫힌집합
4.1 열린집합과 내부 150
4.2 닫힌집합과 폐포 157
4.3 수열의 수렴성과 극한 183

제5장 연속사상
5.1 연속사상(continuous map) 194
5.2 위상동형사상(homeomorphism) 223

제6장 곱공간
6.1 곱공간(product space) 242
6.2 상자위상(box topology) 272

제7장 분리공리
7.1 하우스도르프공간 280
7.2 정칙공간과 정규공간 295

제8장 연결성
8.1 연결성(connectedness) 316
8.2 연결성분(connected component) 334
8.3 연결성의 응용 344
8.4 길연결성(path connectedness) 349

제9장 컴팩트
9.1 컴팩트공간 370
9.2 Tychonoff 정리† 398
9.3 유클리드공간 Rn상의 컴팩트 403
9.4 국소컴팩트와 한 점 컴팩트화 415
9.5 그물(net)† 435

제10장 가분공간과 가산성
10.1 가분공간(separable space) 444
10.2 가산성(countability) 450
10.3 적합사상과 완전사상 467
10.4 Borel 집합† 484
 ∙ 참고문헌 A- i
 ∙ 기호, 약자의 해설 A-iii
 ∙ 찾아보기 A-vi

하권
제11장 거리공간상의 컴팩트
11.1 여러 가지 컴팩트 494
11.2 완비 거리공간 508
11.3 Baire 공간† 526
11.4 힐버트공간† 538
11.5 Cantor 집합† 548

제12장 Tietze 확장정리와 Urysohn 거리화정리
12.1 Urysohn 보조정리와 Tietze 확장정리 556
12.2 완전정칙공간과 Urysohn 거리화정리 566
12.3 Stone-Čech 컴팩트화 581

제13장 상공간
13.1 상공간 590
13.2 접착공간(adjunction space) 627
13.3 상공간의 분리성 637
13.4 CW-복합체† 642
13.5 궤도공간(orbit space)† 648

제14장 곡면의 분류정리
14.1 다양체(manifold) 658
14.2 연결합(connected sum) 666
14.3 곡면의 분류 678
14.4 오일러 특성수와 가향성 690

제15장 Paracompact와 거리화 정리
15.1 Lindelöf 공간 712
15.2 Paracompact 공간 721
15.3 거리화 정리 742

제16장 함수공간
16.1 함수집합에서의 거리 752
16.2 공간을 채우는 곡선† 761
16.3 Compact-Open 위상 785
16.4 거리공간에서의 C-O 위상 803
16.5 Ascoli 정리 816
16.6 Stone-Weierstrass 정리† 830

제17장 기본군과 덮개공간
17.1 변이(homotopy) 843
17.2 기본군(fundamental group) 857
17.3 수축과 변형수축 877
17.4 덮개공간(covering space) 882
17.5  S1의 기본군 계산과 그 응용 907
17.6 Seifert-van Kampen 정리 921
17.7 기본군의 계산 935
17.8 평면의 분리 950

부록
부록 A 위상공간들의 상호관계 970
부록 B 위상수학의 반례들 973
부록 C 위상공간의 성질들 976
부록 D 하극한, 여유한, 여가산 공간의 성질들 978

 ∙ 참고문헌 A- i
 ∙ 기호, 약자의 해설 A-iii
 ∙ 찾아보기 A-vi
수학사 [경문수학산책 04]
-Eves-
 
 
위상수학기초론
-장영식-
 
 
실해석학 개론(2판)
-정동명/조승제-
 
 
   
 
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