경문사

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현대기하학

 
지은이 : 박준식
출판사 : 경문사
판수 : 1판(2015)
페이지수 : 328
ISBN : 978-89-6105-872-8
예상출고일 : 입금확인후 2일 이내
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전공서적을 읽으면서, 이해하기 힘든 부분이 나타나면, 그만 상당히 고민하게 마련인데 2, 3일 지나서 다시 생각하면 해결될 때도 있었고 그렇지 않는 경우도 있었다. 이런 점을 감안하여 이 책을 쓰면서, 저자는 가급적 쉽고 친절하게 소개하려고 노력하였다. 용어 (정의)는 수학사전 (출판사 : 이사쿠라 쇼텐)을 이용하여 우리말과 원어 (영어)로 병기하였으나, 미비한 점이 많을 걸로 여겨진다.이 책에서 소개하는 내용들은 참고문헌들의 참고부분을 적시하고 있는데, 이 책에서는 참고문헌에서의 증명보다는 좀 더 덧붙여 상세하게 독자로 하여금 이해하기 쉽게 서술하려고 하였지만 인용문헌의 참고 부분과 동시에 읽어나가면 더 효율적이라 사료된다. 저자는 이전부터, Lie군 (연속군)과 Lie대수에 관하여 소개하고 싶은 생각을 가지고 있었으나, 저자로선 이 분야에 관심 있는 학생들에겐 이 책의 내용의 이해가 먼저인 것 같이 생각했다. 이 책의 독자들에게는, 학부 수학과 교과과정의 선형대수, 미분기하, 위상수학, 대수학등의 학과목에 관련된 학습이 선행되어야 효율적일 것이다. 이 책은 다음과 같이 편성되어져 있다. 제1장에서는 위상군 주어진 위상군 의 부분군 에 의한 상공간(quotient space)Lie군, Lie군의 폐(closed)Lie부분군에 의한 상공간인 등질공간, 주파이버번들, 주파 이버번들에 관련된 동반파이버번들 (특히, 동반벡터번들) 등에 관하여 소개한다. 제2장에서는 주파이버번들상의 접속에 의한, 기저다양체상의 곡선을 따른 평행이동을 정의한다. 주파이버번들간의 준동형사상에 의해 정의역 (또는 변역) 주파이버번들상의 접속을 변역 (또는 정의역) 번들로의 사상 및, 호로노미번들의 구조군 (호로노미군)에 대응하는 호로노미대수는 곡률에 의해 결정됨 (호로노미정리)을 소개한다. 그리고 평탄접속의 특성 및 주파이버번들 상의 접속의 구성에 관하여 약술한다. 마지막으로, 주파이버번들 상의 주어진 접속에 의한, 기저다양체로부터 동반파이버번들 (벡터번들)로의 절단(section)의 공변미분을 정의한다. 제3장에서는 파이버번들이, 미분가능인 다양체 상의 선형프레임번들 및 아파인프레임번들 일 때, 에서의 접속을 각각 의 선형접속 및 일반아파인접속(generalized affine connection)이라 하는데, 에서의 선형접속 및 에서의 일반아파인접속의 성질 및 특성에 관하여 소개한다. 제4장에서는 리만다양체 煬  의 선형접속 중에서, 특히 리만계량 에 의해 결정된 상의 프레임번들 에서의 접속을 煬  상의 리만접속이라 하는데, 리만접속에 관한 성질 및 특성 (즉, 리만기하)에 관하여 소개한다. -머리말중에서-


제1장 주파이버번들과 동반파이버번들
§1. 위상군(topological group) ․ 1
§2. 부분군(subgroup)과 위상군의 상공간(quotient space) ․ 4
§3. 위상군의 준동형사상(homomorphism)과 동형사상(isomorphism) ․ 10
§4. 위상군의 연결성분(connected component of topological group) ․ 12
§5. Lie군 ․ 19
§6. 주파이버번들(principal fiber bundle) ․  31
§7. 동반파이버번들(fiber bundle associated to a principal fiber bundle) ․ 39


제2장 주파이버번들상의 접속에 의한 평행이동
§1. 주파이버번들상의 접속 ․ 57
§2. 평행이동(parallel displacement) ․  62
§3. 호로노미군(holonomy group) ․  69
§4. 곡률형식과 구조방정식 ․  86
§5. 주파이버번들 준동형사상에 의한 접속의 사상 ․  89
§6. 호로노미번들(접속의 환원정리) ․  100
§7. 곡률과 호로노미대수(호로노미정리) ․ 107
§8. 국소평탄성과 접속의 존재 ․ 109
§9. 동반파이버번들에서의 평행이동 ․  116

제3장 선형접속과 일반아파인접속
§1. 선형접속 ․ 121
§2. 열률형식과 구조방정식 ․ 125
§3. 공변미분연산(covariant differentiation) ․ 127
§4. 공변미분의 국소표현 ․  134
§5. 열률(torsion)텐서장과 곡률(curvature)텐서장 ․  140
§6. 비안키항등식(Bianchi identity) ․  143
§7. 사상(mapping)을 따른 공변미분 ․  146
§8. 아파인접속(affine connection) ․  161
§9. 다양체상의 곡선의 아파인접속에 의한 아파인접공간(affine tangent space)으로의 전개 ․  171
§10. 일반아파인접속(generalized affine connection)에 의한 전개 ․  173
§11. 측지선(geodesic) ․ 175
§12. 표준좌표계(normal coordinate system) ․ 179
§13. 곡선의 전개(development)와 전완비성(total completeness) ․  183

제4장 리만접속
§1. 리만접속(Levi-Civita접속) ․  189
§2. 리만접속의 특성과 Laplace-Beltrami작용소 ․  196
§3. 곡률텐서장과 Ricci텐서장 ․  205
§4. 초곡면(hypersurface) 기하 ․  210
§5. 단면곡률(sectional curvature) ․  224
§6. 정곡률공간(constant curvature space) ․  229
§7. 리만다양체상의 곡선길이의 변분 ․  237
§8. 아파인변환(affine transformation) ․  244
§9. Jacobi벡터장 ․  257
§10. 리만다양체상의 거리함수와 완비인(complete) 리만다양체 ․  273
§11. 공형 Weyl텐서장 ․  280
§12. 의 부분다양체 ․  293
§13. 의 부분다양체 냥  ․ 299

■참고문헌 ․ ․ ․ 313
■찾아보기 ․ ․ ․ 315

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