기하학은 인류의 역사에서 체계적인 지식으로 확립된 최초의 학문이다. 이천 년 이상 진리로 받아들여 교육해 온 유클리드의 원론은 인간의 추론 방식을 정립하였을 뿐만 아니라 추상적 인 공간을 인간이 다룰 수 있는 과학적인 방법을 제시하였다. 이러한 유클리드 기하학의 체계는 절대 이성의 표상으로 여겨졌고, 인간 지성의 최대의 성과로 인식되었다. 방법론적으로 데카르트의 해석 기하학적인 방법과 접목되면서 대수학적인 방법으로 기하학을 연구할 수 있게됨으로써 연구의 방법이 추론에서 한 단계 발전되어 수식으로 접근할 수 있는 계기를 주었다. 이러한 기하학의 발전 과정에서 로바체프스키와 보여이에 의하여 이루어진 비유클리드 기하학의 발견은 기하학은 물론이고, 인류의 지성사에 큰 획을 긋는 사건이었다. 

기하학의 측면에서는 기하학의 대상이 유클리드 평면이라는 절대적인 공간에만 존재하는 것이 아니라 수없이 많은 기하학적 공간이 존재하고 이 공간에서는 유클리드 평면과는 다른 성질이 성립한다는 엄청난 결과를 얻게 되었다. 인류 지성사에서도 칸트 이후의 절대적 세계관에서 상대적 세계관으로 이전하는 계기가 되었다. 이후 서로 모순되어 보이는 비유클리드 기하학과 유클리드 기하학은 리만이라는 천재적인 수학자에 의하여 통합되고 이는 아인슈타인의 상대성 이론으로 현실 세계를 해석하는 수단이 되였다. 리만 기하학의 핵심적인 사항은 저자가 주장하듯이 지구에 사는 사람들이 지구가 둥글다는 사실을 알 수 있는 방법이 존재하는가에 대한 질문에서 시작된다. 

그리고 이 책의 저술 목적도 결국은 이 질문에 대한 해답을 제시하기 위한 것이었다. 이를 위하여 데카르트의 해석 기하학적인 관점을 뛰어 넘어 국소적인 범위에서 변화를 측정할 수 있는 수단으로 미분이란 도구를 이용하였다. 그리고 이 미분은 유클리드 공간에서 사용하던 것과는 유사하지만 곡면만의 고유한 것으로 존재함을 알 수 있다. 이를 미분기하학이라 부르며 대학과정에서 유클리드 공간의 미적분학과 선형대수를 이수한 학생들을 대상으로 기하학의 체계와 방법론을 학습하고, 고유 기하학의 관점에서 위의 질문에 대한 해답을 제시하는 과정이다. 

이 책은 양이 방대함에도 불구하고, 저자는 많은 예와 설명을 중심으로 하여 다른 어떤 수학 교재와도 다르게 한 가지 목적을 위하여 서술하고 있다. 역자 생각으로는 현재 학부과정에서 교재로 선택하고 있는 어떤 책보다도 위의 고전적인 질문에 충실하게 설명해 가고 있으며, 그렇다고 해서 너무 난해하게 진행되지도 않는다. 1966년 초판이 발행된 후 지속적으로 미분 기하학의 주요 교재로 사용되고 있었고, 1997년 몇몇 부분을 현대적인 감각으로 수정하고, 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 연습 문제를 추가한 2판이 출간되었다. 

이 책을 두 학기에 강의하기에는 양이 좀 많다. 특히 제7장과 제8장의 경우는 대학원과 연계하여 강의를 진행하는 것이 좋을 것이라 생각한다. 역자는 강의 경험에 비추어 2학기 과정의 기하학 강의라면, 제1장에서 부터 제3장까지를 한 학기 강의 내용으로 하여 기본적인 해석학적 개념과 곡선론, 유클리드 기하학 등을 강의하고, 2학기에는 제4장에서부터 제6장까지 그리고 제7장 6, 7절의 가우스-보네 정리를 강의 내용으로 하여 곡면의 정의에서부터 형 작용소, 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 성질, 고유 기하학으로의 도입, 가우스 보네 정리 등을 가르치는 것이 좋을 것이다. 단학기 과정으로 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면과 곡선에 대하여 학습하기 위해서는 제2장(8절 제외), 제4장(8절 제외), 제5장, 제6장(6-9절은 간략하게), 그리고 가우스-보네 정리인 제7장의 6절과 7절로 구성하면, 강의가 가능하리라 생각한다. 
-역자의말 중에서-

∙ 역자의 말 ·iv
∙ 머리말 ·vi

제0장 개요 1

제1장 유클리드 공간의 미적분학
1.1　유클리드 공간 · 3
1.2　접벡터 · 6
1.3　방향도함수 · 11
1.4　R3에 놓인 곡선 · 15
1.5　1차형식 · 22
1.6　미분형식 · 27
1.7　사상 · 32
1.8　요약 · 39

제2장 틀장
2.1　내적 · 41
2.2　곡선 · 50
2.3　프레네 공식 · 56
2.4　임의 속력 곡선 · 66
2.5　공변도함수 · 77
2.6　틀장 · 81
2.7　연결 형식 · 84
2.8　구조 방정식 · 89
2.9　요약 · 94

제3장 유클리드 기하학
3.1 R3의 등장사상 · 95
3.2　등장사상의 접사상 · 101
3.3　향 · 105
3.4　유클리드 기하학 · 110
3.5　곡선의 합동 · 114
3.6　요약 · 121

제4장 곡면에서의 미적분학
4.1　R3에 놓인 곡면 · 123
4.2　조각에 관한 계산 · 131
4.3　미분 가능한 함수와 접벡터 · 141
4.4　곡면의 미분 형식 · 150
4.5　곡면의 사상 · 157
4.6　형식의 적분 · 165
4.7　곡면의 위상적 성질 · 174
4.8　다양체 · 184
4.9　요약 · 192

제5장 형작용소
5.1　M ⊂ R3의 형작용소 · 193
5.2　법곡률 · 199
5.3　가우스 곡률 · 206
5.4　계산법 · 214
5.5　음함수꼴의 계산법 · 224
5.6　곡면의 특별한 곡선 · 229
5.7　회전면 · 240
5.8　요약 · 249

제6장 R3에 놓인 곡면 기하학
6.1　기본방정식 · 251
6.2　형식의 계산 · 256
6.3　몇 가지 대역 정리 · 261
6.4　등장사상과 국소등장사상 · 267
6.5　R3에 놓인 곡면의 고유기하학 · 275
6.6　직교좌표 · 280
6.7　적분과 향 · 283
6.8　곡률합 · 290
6.9　곡면의 합동 · 300
6.10 요약 305

제7장 리만기하학
7.1　기하곡면 · 307
7.2　가우스 곡률 · 314
7.3　공변도함수 · 323
7.4　측지선 · 332
7.5　클라이럿 매개화 · 338
7.6　가우스-보네 정리 · 348
7.7　가우스-보네 정리의 응용 · 359
7.8　요약 · 370

제8장 곡면의 대역 구조
8.1　측지선의 길이 최소화 성질 · 371
8.2　완비곡면 · 382
8.3　곡률과 켤레점 · 387
8.4　덮개공간 · 397
8.5　내적을 보존하는 사상 · 406
8.6　상수곡률을 갖는 곡면 · 413
8.7　보네와 아다마르의 정리 · 421
8.8　요약 · 428

∙ 부록
매스매티카 ·431
1. 기초 431
2. 곡선 · 433
3. 곡면 · 434
4. 그림 · 436
5. 미분방정식 · 436

메이플 ·437
1. 기초 · 437
2. 곡선 · 439
3. 곡면 · 441
4. 그림 · 443
5. 미분방정식· 444

∙ 연습문제 풀이 ·447
∙ 참고문헌 ·502
∙ 찾아보기 ·503

지은이

배럿 오닐(Barrett O’Neill)

UCLA(University of California, Los Angeles) 수학과 교수

옮긴이 

이승훈 

유원대학교 교수

한동숭 

전주대학교 교수

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