미분방정식은 현대 수학에서 가장 전통적인 과목 중 하나이다. 뉴턴 Newton, 라이프니츠 Leibniz 가 미적분을 고안한 지 오래지 않아 베르누이 Bernoulli,  오일러 Euler 등의 수학자들은 열방정식 Heat Equation, 파동방정식Wave Equation 등 수리물리학 mathematical Physics 을 다루기 시작하게 된다. 뉴턴 자신도 행성의 운동을 다루면서 미분방정식 Differential Equations 을 다루게 된다. 두 양의 변화율 개념의 미분 관계가 등식 형태로 주어지는 미분방정식 형태로 나타나는 것은 자연스러운 것이다. 따라서 많은 사회 현상, 자연 현상 등이 모두 미분방정식의 형태로 주어지는 것이다. 가장 간단한 것 중 하나는 자유낙하운동 a free falling을 기술할 때 위치함수(높이)를 y(t)로 나타내면 그 이차도함수 y′′는 가속도acceleration 를 뜻하므로 갈릴레오 법칙에 따라 y ′′=-9.8(m/s2)로 나타난다. 이것은 가장 간단한 미분방정식으로 단지 두 번의 적분만으로 우리는 자유 낙하 운동을 예측할 수 있게 되는 것이다. 오늘날에 와서도 물리학, 여러 공학의 핵심 부분, 특히 생명 공학의 중요 영역, 그리고 다수의 수학적 모델링 mathematical modelling 에 강력한 도구로 나타나게 된다. 그 대표적인 것으로 아인스타인 Einstein 의 (중력)장 방정식 a field equation,  최근의 금융공학 분야의 블랙-숄즈 방정식 Black-Scholes Equation 등을 들 수 있다. 미분방정식은 수학적 모델링 mathematical modelling 과정을 거쳐 나타난다. 모델링은 어떤 개념이나 현상을 실체화하는 과정이다. 대부분은 비선형 미분방정식 nonlinear DE형태로 나타나고, 간단한 형태의 미분방정식조차 함수해를 갖지 않는 경우가 대부분임을 알 수 있다. 미분방정식은 그러한 현실 문제를 나타내고, 컴퓨터를 이용하여 그러한 문제에 대한 해석의 단서를 제공할 수도 있다. 이 과목의 필수 예비 선수과목 a Prerequisites 은 선형대수학, 특히 미․적분학이다. 고급 미․적분학이 나타나고, 선형대수학의 기초도 포함된다. 한편 간단한 물리 등 배경 지식의 갭 a gap 에 대한 해설도 포함하게 된다. 따라서 예비 수학교사들의 수학 기초와 배경 지식에 대한 심화 과정에 직접적인 도움이 될 것이다.  -머리말 중에서-

1. 미분방정식의 소개 1

1.1 미분방정식의 기초 용어 / 3

1.2 일계 미분방정식 / 5

1.3 존재성과 유일성 / 8

1.4 형태별 풀이 / 11

1.5 여러 가지 치환법 / 14

1.6 일계 선형 / 18

2. 1계 미분방정식의 응용 29

2.1 직교곡선군 / 31

2.2 등위곡선과 작용선 / 33

2.3 벡터장과 적분곡선 / 36

2.4 두 가지 증감 현상 / 42

3. 고계 선형 미분방정식 51

3.1 2차도함수와 미분방정식 / 53

3.2 고계 선형 미분방정식 / 58

3.3 상수계수 미분방정식 / 64

3.4 보조방정식의 다중근 / 67

3.5 미정계수법 / 74

3.6 매개변수 변화법 / 76

3.7 2계 선형 특별해 / 78

4. 연립 선형 미분방정식 85

4.1 연립 미분방정식 모델 / 87

4.2 초보적 풀이-소거법 / 91

4.3 행렬과 연립 미분방정식 / 94

4.4 비제차 연립 미분방정식-미정계수법 / 98

4.5 비제차 연립방정식의 특수해-변수변화법 / 101

5. Laplace 변환 109

5.1 Laplace 변환 / 111

5.2 역변환과 도함수 변환 / 116

5.3 변환정리 1, 2 / 119

5.4 여러 가지 변환 공식 / 124

5.5 연립 미분방정식의 풀이 / 126

5.6 볼테라 적분방정식 / 127

6. 급수해법 137

6.1 변수계수 미분방정식 / 139

6.2 멱급수해 / 143

6.3 Frobenius 해법 / 146

6.4 Legendre 미분방정식 / 152

6.5 Bessel 미분방정식 / 157

7. 편미분방정식 171

7.1 편미분방정식 모델링 / 173

7.2 대표적 편미분방정식 3가지 / 176

7.3 Fourier 급수 / 181

7.4 현의 파동 / 188

7.5 열 방정식과 Laplace 방정식 / 192

7.6 극형식의 Laplacian / 197

7.7 1계 준선형 / 202

부록 211

1. 일계 고차 / 213

2. Clairaut 방정식 / 218

참고문헌 221

교재 속의 인명과 법칙들 222

찾아보기 223

석용징 

서울대학교 사범대학 수학교육과 

서울대학교 대학원 수학과(Ph. D.) 

강원대학교 사범대학 수학교육과 교수

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