복소해석학은 복소수와 복소변수를 매개로 하는 복소함수의 함수적인 성질과 사상적 특성을 다루는 수학의 주요 분야이며 수학뿐만 아니라 자연과학과 공학 등에서 제기되는 문제를 해결할 수 있는 많은 강력한 기술적 수단과 합리적인 근거를 내포하고 있어, 해석학과 대수학, 기하학 등 순수수학뿐만 아니라 근사론, 포텐셜 이론, 유체역학 등 응용과학과 계산과학 등에도 폭넓게 응용범위를 확장해 나가고 있다. 지난 몇 년간 복소해석학을 강의해 본 결과 대체로 해석개론에서 어려움을 느끼던 학생들이 유사한 해석학적 방법론의 토대 위에 사상적 특성을 기반으로 하는 복소해석학의 공부에서 생각보다 심각한 어려움에 직면한다는 사실을 절감하게 되었다. 이러한 경험을 바탕으로 학생들이 복소해석학의 주요 소재를 보다 수월하게 이해할 수 있도록 도와주고 복소해석학이 제공하는 주요 해석학적 관점이나 적분표현 방식, 사상적 기반 등을 통합적이고도 체계적으로 안내할 교재의 필요성을 절감하게 되어 그간의 강의 자료를 정비하여 이 책의 집필에 착수하게 되었다. 이 책에서는 학생들이 학습에서 느끼는 어려움을 고려하여 가급적 해석개론에서 사용하는 기법을 준용하고 주제와 주제를 단계별로 서로 연동되게 순연 배치함으로써 비약에 따른 혼돈을 피하고 주제의 흐름을 보다 쉽고 일관성 있게 따라갈 수 있도록 세심한 주의를 기울였다.
아울러 이러한 목적에 부합하도록 되도록이면 추상적인 서술을 지양하고, 비교적 간결하고도 구체적인 논리전개와 내용을 적절하게 반영하는 예제와 연습문제를 배치하여 보다 쉽게 주제를 이해할 수 있도록 책을 구성하려고 노력하였다. 이 책은 모두 7장으로 이루어져 있다. 제1장은 복소수의 수체계와 복소평면에서의 기본 위상, 그리고 복소수열과 급수의 수렴성질에 대해 다루었다. 제2장에서는 복소함수의 극한과 연속성, 해석함수에 대한 Cauchy-Riemann 방정식, 그리고 복소함수열과 멱급수의 수렴성을 다루고, 제3장에서는 복소기본함수의 정의와 주요 성질을 간결하게 정리하였다. 해석함수의 주요 특성은 역사상 가장 우아한 수학적발견으로 일컬어지고 있는 Cauchy 정리로부터 비롯된다. 제4장에서는 복소함수의 적분, Cauchy와 Cauchy-Goursat 정리, Cauchy 적분공식과 이를 토대로 해석함수의 Taylor 급수 전개, 최대 ․ 최소절대값 원리, 열린 사상 정리와 역함수 정리 등 해석함수에 내재하는 주요 함수적 성질을 다루었다.
제5장에서는 복소함수의 고립특이점과 고립특이점에서의 Laurent 급수 전개, 그리고 실함수의 적분이나 멱급수의 합의 계산에 유수정리를 활용하는 방법을 기술하였다. 해석함수는 함수적 성질 뿐만 아니라 사상적 특성이 중요한 축을 이루고 있다. 제6장에서는 해석함수의 사상적 특성인 편각원리와 Rouché 정리, 쌍선형사상과 등각사상 등을 다루고 이를 이용해 문제를 해결하는 여러 응용사례를 취급하였다. 마지막으로 제7장에서는 단순 연결영역에서의 조화함수와 조화함수에 대한 Poisson 적분표현을 이해하고 이를 이용해서 Laplace 방정식의 경계값 문제의 해를 구하는 과정을 여러 응용사례를 중심으로 살펴보았다. 이 책은 자연계나 공과대학의 분야에 따른 특성과 필요에 맞추어 일부 소재를 선택적으로 조정함으로써 일주일에 3시간 정도로 두 학기에 학습할 수 있도록 편성되었다.
학생들이 쉽게 원리를 이해하고 문제해결과 응용 능력을 키워나갈 수 있도록 단계별로 필요한 예제를 제시하였고, 각 절의 끝에 적절히 연습문제를 배치함으로써 학생들이 자율적으로 학습내용을 검토하고 이를 기반으로 심화된 탐구활동을 수행하도록 배려하였다. 그리고 이 책에서는 대한수학회의 수학 용어의 표준화에 부응하여 가급적 이에 준한 한글 용어를 사용하였다. 모쪼록 이 책을 통해 학생들이 복소해석학의 핵심 주제를 보다 쉽게 이해하고 이를 기반으로 복소해석학이 제공하는 강력하고 신뢰할 만한 수학적 수단과 방법을 익혀 학업에서의 자신감을 부양하고 문제해결이나 응용에서 복소해석학을 도구로 활용할 수 있는 실용적인 감각을 키울 수 있기를 기대한다.
-머리말중에서-
