학생들은 수준 높은 수학 문제를 풀면서도 ‘왜 그렇게 해야 하는지’, ‘왜 그런 방식으로 접근해야 하는지’에 대한 의문을 갖지 않는다. 수학적 지식은 많은 연습으로 체득한 절차적 지식으로 굳어져 버려 본질적인 문제에 의구심을 품고 그 문제를 해결하기 위한 치열한 증명과 논리 전개로는 한 발짝도 나아가지 못한다. 이는 우리나라 교육의 문제점을 그대로 보여주는 것으로 교육 현실의 한계를 보여주는 증거이기도 하다. 깊은 사고 없이 반복하는 계산 훈련과 암기 위주의 교육 방식이 갖는 한계를 고스란히 지닌 채 학생들은 대학교에 들어온다. 대학에 들어온 학생들은 해석학을 어려워한다. 사실 해석학은 어렵다. 해석학을 처음 접하는 학생들에겐 더욱 그렇다. 고등학교를 마칠 때까지 논증다운 논증을 해 본 적이 없는 우리나라 대학생들에겐 더더욱 그렇다. 공식처럼 계산하여 얻는 방식의 숫자놀음이 아니라서 어렵고 유연하게 전개하는 증명이 원칙없는 임기응변처럼 보여서 어렵다. 누구의 증명 방식은 이렇고 누구의 증명 방식은 저렇다고 하는데, 그 증명의 차이점을 분간하지 못해 헷갈리고 어렵다. 수학적 증명의 엄밀성을 제대로 이해하지 못한 학생들에겐 해석학에서 보여주는 자유로운 기호 사용과 유동적인 사고가 때로는 이해하기 힘든 기호 놀음과 궤변처럼 느껴지기도 한다. 

해석학을 어려워하는 학생들에게 “해석학의 어느 부분이 어렵나?” 또는 ”해석학이 왜 어렵나?”라고 물으면 대략 두 가지의 대답을 들을 수 있다. 첫 번째는 무엇을 해야 할지 몰라 어렵고 두 번째는 자신의 생각이 맞는지 확신할 수 없어 어렵다고 한다. 실제로 많은 학생들이 해석학의 정의나 정리가 의미하는 바를 숙지하지 못한 상태에서 형식적인 논증을 따라가려고 애쓰고 있는 모습을 볼 수 있다. 형식적인 논증의 의미를 파악하지 못하기 때문에 ‘그 단계에서 왜 그렇게 해야 하는지’를 알지 못하고 다른 방식의 풀이가 가능한지 생각할 겨를도 없다. 융통성 있게 논리 전개 방식을 선택하지 못하므로 자신의 증명에 대한 확신이 부족해지고 해석학에 대한 자신감은 점점 잃어간다.  

해석학은 미적분학의 기초를 세우는 이론으로 어떤 면에서는 고등학교 수학의 계산에 타당성을 보증해주기 위한 장치를 마련하는 과정의 산물이다. 그러므로 학생들에게는 논리적인 증명이 생소할 뿐 해석학에서 다루는 주제와 계산적 활용에는 어느 정도 익숙하다. 예를 들어 학생들은 수열{1/n}에 대하여 “이 수열이 왜  0 으로 수렴하는가?”, “ 0으로 수렴한다는 뜻이 무엇인가?”, “0으로 수렴한다는 사실을 어떻게 증명해야 하는가?” 등의 질문에는 당혹해하지만 이 수열이 0으로 수렴한다는 것은 너무나 잘 알고 있다. 학생들은 논증을 경험해보지 않았기 때문에 직관적으로 알게 된 지식도 증명이 필요하다는 사실에 의아해한다. 그들은 고등학생 때 배운 방식으로 “n이 점점 커지면 1/n은 무한히 작아지고 0에 한없이 가까워지므로  0으로 수렴한다.”고 설명한다. 이런 설명은 공리체계에서 출발하여 엄밀한 논증을 요구하는 대학의 수준에서는 부족하다. 이를 보완하여 형식적인 증명을 해보라고 하면 “당연히 옳은데 왜 증명해야 하느냐”고 반문한다. 

이처럼 직관적 추론으로 알고 있는 결과를 얻기 위한 형식적 절차에 대한 지식은 거의 없다. 수학적 지식은 용어에 맞추어 논리적 과정으로 명확하게 입증되어야 한다는 사실을 알지 못하기 때문이다. 수학의 기초로부터 논증이 작동하는 방식에 대하여 배운 적 없이 수학의 상층부에 해당하는 기술적 문제해결에만 치중해오던 학생들에게 해석학의 저변으로부터 펼쳐지는 논리적 증명은 어려울 수밖에 없다. 논증 경험이 없으므로 수학적 현상을 논리적으로 전개하여 증명할 수 없고, 타인에게 설명하여 설득할 수 없고, 나아가 상대방과 수학적으로 의사소통할 수 없다. 학생들은 수학적 논리 전개 규칙과 언어적 의사소통 방법에 대한 몰이해로 어려움을 겪고 해석학을 낯설어 한다. 그러나 해석학도 약속된 의미의 기호 체계 위에서 수학적으로 의사소통하는 방법임을 알고 나면 해석학은 결코 어려운 학문이 아님을 알 수 있다. 오히려 고등학교의 수학보다 쉽다고 느낄 수도 있다. 

이 책은 학생들이 해석학을 처음 접할 때 겪는 어려움을 헤쳐보고자 준비하였다. 해석학의 내용이 어려워서가 아니라 무엇을 해야 할지 몰라서 못하는 학생들을 위하여 만들었다. 그러므로 이 책은 해석학을 공부하기 위하여 필요한 논리 전개와 사고방식에 대해 질문을 하고 이론 전개에서 이어질 의문을 갖는 습관을 기를 수 있도록 하는 데 주안점을 두었다. 이를 위하여 머릿속에서 일어나는 사고 과정을 그대로 드러내고자 애썼다. 사고 절차를 드러내기 위하여 정의나 정리에 분석내용을 소개하고 그 의미를 설명하였다. 또 정리의 조건이 최선인지를 묻는 질문을 하고, 그에 따른 반례를 생각하고, 정리를 확장할 수 있는지를 생각하도록 하였다. 이와 같은 과정은 머릿속에서 자연스럽게 일어나야 하지만 훈련하지 않은 학생들에겐 어려운 일이다. 그러므로 해석학을 공부하는 학생들에게 이런 사고를 하도록 유도하기 위한 장치로 그 과정을 끄집어내어 배열하였다. 주요 결과만을 나열하면 머릿속에서 일어나는 변화를 학생들에게 전달할 방법이 없으므로 다소 복잡하고 얽힌 흐름이지만 머릿속 사고의 전개 과정을 보여주려 하였다. 그런 탓에 책의 어떤 부분은 중복으로 부연 설명되었고, 또 어떤 부분은 매우 사소한 의미까지도 지나치리만큼 상세히 기술되었다. 자질구레하고 조악해 보이는 예나 설명들은 주된 흐름에 방해가 될 수도 있지만 머릿속에서 치열하게 생각한 증거들이다. 

큰 흐름을 중심으로 기술하는 많은 책에서는 잘 나타나지 않는 설명들을 구질구질하게 나열한 이유는 스스로 생각해보아야 할 사소한 정리들을 상기시키기 위해서이다. 이런 장치가 해석학에 익숙한 사람에게는 성가시고 귀찮은 사족일 수도 있지만, 처음 접하는 초보자에게는 유용하리라고 저자는 생각한다.  이 책에서는 학생들이 공부하면서 책에 마냥 이끌려가지 않고 보다 능동적으로 사고하는 태도를 기를 수 있도록 스스로에게 해야 하는 질문과 생각해야 하는 내용을 정리하여 ‘생각하는 코너’로 중간중간에 찔러 넣어 두었다. 또 개념이나 정리가 나올 때마다 그에 해당하는 예제와 문제를 소개하고 다양한 풀이를 보여주어 학생 자신의 생각이 맞는지 틀린지를 점검할 수 있도록 하였다. 연습과 사고 과정을 그대로 노출시켜 두어 책의 분량이 많기는 하지만 읽으면서 쉽게 이해할 수 있도록 구성하였기 때문에 자연스럽게 페이지를 넘길 수 있어 오히려 읽는 부담이 적을 것으로 생각한다.  

이 책은 전체 4권으로 집필될 예정인 시리즈의 제1권으로 학생들이 해석학을 스스로 공부할 수 있도록 학생의 관점에서 내용을 구성하였다. 앞으로 나올 제2권에서는 가르치는 사람의 입장에서 수학적 주요 개념을 중심으로 뼈대만 추려서 배열하고 제3권에서는 연구자의 입장에서 해석학적 지식과 역사적 배경 및 그 의의 등을 소개할 계획이다. 끝으로 제4권에서는 해석학에 관심 있는 일반대중을 위해 알기 쉬운 예제를 이용하여 해석학 정리의 의미와 가치를 되새기고 그 흐름을 짚어주고자 한다. 각 권의 성격에 따라 제1권을 질문하며 배우는 해석학, 제2권을 정리하며 다듬는 해석학, 제3권을 생각하며 넓히는 해석학, 제4권을 예제로 익히는 해석학으로 이름해 두었으니 앞으로 나올 후속 권에도 관심을 가져 주길 부탁드린다.  

-머리말 중에서-

I. 실수체계
1. 집합론 2
2. 실수체계 17
3. 자연수 34
4. 유리수의 조밀성 42
5. 집합의 크기 48
종합 예제 59
단원 연습 문제 64

II. 수열
1. 수열과 그 극한 72
2. 수열의 극한 계산 89
3. 수열의 수렴 정리 99
4. 부분수열 118
5. 코시수열 128
6. 수열의 발산 134
7. 상극한과 하극한 143
종합 예제 159
단원 연습 문제 17

III. 실수집합에서의 위상
1. 실수에서의 위상 185
2. 폐집합과 집적점 200
3. 콤팩트와 연결집합 219
종합 예제 227
단원 연습 문제 234

IV. 함수의 연속
1. 함수의 극한 246
2. 연속함수 273
3. 연속함수의 성질 292
4. 균등연속 309
종합 예제 321
단원 연습 문제 330

V. 미분
1. 함수의 미분 346
2. 평균값 정리와 그 활용 363
3. 로피탈 정리 389
종합 예제 402
단원 연습 문제 412

VI. 적분
1. 적분의 정의 420
2. 적분가능한 함수 450
3. 미적분의 기본정리와 적분 계산 460
4. 적분에 대한 평균값 정리 478
5. 이상적분 490
종합 예제 520
단원 연습 문제 532

VII. 무한급수
1. 무한급수 544
2. 무한급수의 수렴 판정 555
3. 절대수렴과 조건수렴 581
종합 예제 594
단원 연습 문제 603

VIII. 함수열의 수렴
1. 점별수렴과 균등수렴 610
2. 균등수렴 판정하기 632
3. 균등수렴과 연속 656
4. 균등수렴과 적분 674
5. 균등수렴과 미분 693
종합 예제 715
단원 연습 문제 734

IX. 멱급수와 해석함수
1. 멱급수 746
2. 해석함수 780
종합 예제 811
단원 연습 문제 820

이동원
경북대학교 사범대학 수학교육과 교수

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