현대수학은 집합론을 기초로 하여 대수학, 위상수학, 기하학 그리고 해석학으로 구성되어 있다. 이들은 서로 유기적인 관계가 있다. 수학은 중등학교에서 배우는 수의 연산과 유클리드 기하를 기초로 하여 전개된다.이를 바탕으로 이에 새로운 수학적 구조들을 주면 여러 가지 수학 이론이 형성되는 것이다. 예를 들어 유클리드 평면 E2 에서 직선은 무정의 용어로서 직관적으로 점들이 평평하게 놓여 있는 것이다. E2 위에 두 직선이 주어지면, 그 두 직선은 교차하거나 평행하거나 일치한다. 이때, 만일 두 직선이 교차하면, E2에서는 그 교점의 위치를 나타내는 방법이 없다. 그러나 E2위에 직교좌표구조를 주면, 대수학적으로 R2위의 직선은 일차방정식으로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 그 교점은 R2에서 그 위치를 나타낼 수 있는 장점이 있다. 이와 같은 기하를 해석기하라고 한다. 해석기하는 기하학적 대상을 대수적으로 표현하여 연구하는 것이다. 현대수학은 거의 대부분 해석기하학적으로 이루어져 있다고 해도 과언이 아니다. 고등미적분학은 실수체 R에서부터 출발한다. R은 데데킨드의 절단이론으로 유리수체 Q를 포함하는 순서체이고 최소상계의 성질을 만족한다는 것이 증명되었다. 여기에 벡터의 구조와 거리의 개념을 주어 R위에는 벡터공간과 거리공간을 정의한다. 또한 거리 개념을 통하여 R 위에서는 유클리드 위상을 정의한다. 이 위상으로부터 일변수함수의 극한과 연속성 및 미분가능성을 정의하고, 이를 다변수함수로 일반화하는 것이다. 고등미적분학은 현대수학의 밑바탕을 이루고 있다. 이 책의 특징은 현재까지 출판된 미적분학을 대수학. 위상수학. 기하학. 해석학과 결합시켜 I, II권으로 나누어 논리적으로 저술하였다. 또한 이론 내용을 이해할 수 있도록 문제의 해답을 제시하였다. 이 책의 내용을 간략히 살펴보면,제 I 장에서는 이 책을 공부하는 데 필요한 기초 개념인 논리규칙과 집합론, 실수체와 벡터공간 거리공간과 유클리드 공간, 행렬(식)과 연립방정식, 직선과 평면의 방정식, 선형사상의 고윳값과 고유벡터, 행렬의 대각화, 삼각함수, 유클리드 위상과 극한점, 긴밀집합과 연결집합 등을 서술하였다.
제2장에서는 고등미적분학을 이해하는 데 기본이 되는 함수의 극한과 연속성, 최댓값 ․ 최솟값의 정리와 중간값 정리에 대하여 자세히 설명하였다. 제3 장에서는 함수의 미분가능성과 도함수, 평균값 정리, 역함수 정리와 음함수 정리, 함수의 오목 ․ 볼록과 극값, 역도함수와 미분방정식 등을 다루었고 제4 장에서는 넓이의 개념인 정적분의 개념을 아르키메데스의 원리에 따라 해석적으로 설명하였고 치환적분을 다루었다. 제5 장에서는 고교수학에서 학습한 로그함수와 지수함수를 엄밀하게 새로이 정의하였으며, 로피탈 법칙과 학생들이 처음 대하는 역삼각함수와 쌍곡선함수도 설명하였다. 제 6장에서는 부분적분법과 여러 가지 치환적분에 대한 기교를 다루었다. 제7 장에서는 정적분을 이용하여 다양한 형태의 회전체에 대한 부피와 겉넓이를 구하는 문제와 특이적분에 대하여 논의하였다.
제8 장에서는 수열의 극한과 급수의 수렴 ․ 발산 판정법, 함수열과 그 급수의 평등수렴성과 극한함수의 연속성, 적분가능성 그리고 미분가능성을 다루었다. 또한 거듭제곱급수와 테일러 급수, 이항급수에 대해서도 논의하였다. 제9장에서는 평면해석기하, 특히 원뿔곡선에 대하여 설명하였다. 제10장에서는 매개변수방정식과 극좌표, 극방정식을 다루었다. 제11장에서는 공간에서의 직선과 평면에 대하여 논의하였다. 제12 장에서는 곡면,특히 2차곡면에 대하여 설명하였다.제 13 장에서는 벡터에 대한 물리학적 의미를 추상화함으로써 벡터들에 관한 수학적 의미를 다루었으며, 곡선의 곡률과 곡률원의 중심과 접촉평면에 대하여 설명하였다. 제14 장에서는 다변수함수의 극한, 연속성, 편도함수, 미분가능성 그리고 방향도함수를 다루었으며 이의 응용으로 극값에 대하여 논의하였다. 제15장에서는 다변수함수의 미분과 그의 응용으로 선적분을 다루었다. 또한 일반화된 역함수 정리와 음함수 정리를 증명하였다. 제16 장에서는 다중적분과 그 응용을 다루었다. 또한 참고적으로 특이적분과 관련된 이중적분에 대하여 살펴보았다. 제17 장에서는 벡터장의 개념을 발전시켜 발산과 회전, 면적분에 대하여 설명하였다.
또한 그린 정리,발산정리, 스토크스 정리를 증명하였다. 전공서적을 공부할 때에는 저자의 이론 내용 전개 방법과 순서에 충실해야 한다. 다른 전공서적에서는 같은 내용을 다른 전개 방법과 순서로 다루는 경우가 있기 때문에 문제해결력에서 차이점이 나타나므로 학생들이 공부하는 데 혼란을 야기할 수도 있다. 이 책을 공부할때는 개념과 용어의 정의, 표기법 등을 유념하면서 문제를 풀어보기 바란다. 그래야만이 이론 내용을 일목요연하게 이해할 수 있다. 어떤 정리들의 증명은 이해하기 어려울 수 있지만 이를 정독하면 해석학, 위상수학, 특히 미분기하학을 이해하는 데 도움이 될 것이다. -머리말 중에서-
