실 해석학은 수학에서 기초적인 분야의 하나이며, 수학뿐만 아니라 공학과 자연 과학에서 많은 고급 주제를 연구하기 위한 기초이다. 실 해석학의 개념들을 완전하게 이해하는 것은 또한 경제학과 사회 과학에서 고급 주제를 연구하는데 더욱더 중요해지고 있다. 푸리에 덧렬[급수], 측도[잴대] 이론, 적분 등과 같은 주제는 수학과 물리학은 물론이고 공학과 경제학 및 다른 많은 분야에서 기초적이다. 여러 가지 많은 학문 분야에서 실 해석학이 더욱 중요해졌기 때문에, 이 과목에 대한 전형적인 첫째 학기 강좌는 학습 동기와 능력 향상을 위해 다양한 전공 분야의 학생들이 수강하고 있다. 나의 경험에 따르면, 수강생 중에는 전형적으로 수학 전공자들이 포함되는데, 이런 학생들에게 이 과목은 학부 전공과정에서 해석학을 엄밀하게 다루는 거의 유일한 과정이다. 전형적인 수강생 중에는 대학원에서 수학을 전공하려는 계획을 가진 학생들도 있다. 더불어, 수학 교육 전공자들이 있는데, 이런 학생들은 고등학교 미분 적분학을 가르치기 위한 준비로 해석학에 대한 충실한 예비 지식을 필요로 한다. 이따금, 경제학, 공학, 물리학 및 다른 분야의 대학원 학생이 수강하는데, 이들은 수학이나 그들 자신의 전공 분야에서 부가적인 대학원 학습을 대비하기 위해 해석학을 철저히 학습할 필요가 있다. 이상적인 상황에서는, 각 범주에 속한 학생들에게 별도의 과정을 제공하는 것이 바람직하다. 불행하게도, 교수 충원 상태와 등록 상황은 통상 이런 선택을 불가능하게 만든다. 이 교과서를 준비하면서, 몇 가지 목표를 마음속에 품었다. 첫째는 3학년 또는 4학년 수준에서 1년 과정의 실 해석학 강좌에 적절한 교과서로, 해석학의 이론적 개념들을 엄밀하고 포괄적으로 다루는 책을 쓰는 것이었다. 이 책에 포함된 주제들은 대학원에서 여러 수학 과목을 가르친 경험을 바탕으로 선택했는데, 대학원 과정을 성공적으로 학습하는 데 필요하다고 느낀 최소한의 주제들을 반영했다. 이 책에서는 최소 상계 성질을 가능한 한 빨리 도입하고, 책 전체에서 그 중요한 성질을 강조한다. 이런 이유에서, 유비수[유리수]와 실수 체계의 대수적 성질은 아주 간략하게 처리하고, 유비수로부터 실수를 구성하는 과정은 연구 과제에만 문제로 포함시켰다. 모든 결과에 대한 증명은 가능한 한간결하게 제시하려고 시도했고, 주제들이 자연스러운 방식으로 전개되도록 했다. 뒤에 있는 장들에서 특별히 요구되지 않는 주제와 절은 각주에서 그 사실을 지적했다. 둘째 목표는 이 과목을 수강하는 전형적인 학생이 이해할 수 있는 교과서를 만드는 것인데, 이때 학생들 사이에 학습 동기와 능력 및 예비 지식이 다양한점을 고려했다. 이런 이유에서 제 1 장부터 6 장까지는 평균적인 학생이 이해하기 쉽도록 썼다. 그렇지만 이와 동시에 좀 더 재능 있는 학생들이 도전해볼 만한 과제를 익힘 문제를 통해 제시했다. 열린 모음[집합], 닫힌 모음, 옹골진[콤팩트] 모음 등의 기초적인 위상적 개념과 함께 (수)열의 극한과 함수의 극한은 실수에 대해서만 도입했다. 그렇지만 많은 정리의 증명은, 특히 위상적 개념과 관련된 정리의 증명은 더 추상적인 상황으로 쉽게 확장할 수 있는 방식으로 제시했다. 이런 장들에는 또한 많은 보기와 매우 일상적이고 계산적인 익힘 문제가 포함되어 있다. 제 7 장부터 10 장까지는 학생들이 이 과목에 대한 어느 정도의 전문 지식을 갖추었다고 가정한다. 이런 장들에서는, 함수 공간들을 도입하고 대단히 상세하게 살펴본다. 정리와 보기 및 익힘 문제는 완전히 이해할 수 있을 정도로 수학적으로 상당히 성숙하고 정교해진 단계에 도달했기를 요구한다. 나의 경험에 따르면, 이런 기대는 결코 비현실적이 아니다. 이 책에는 실 해석학에 관한 입문 교과서들에서 찾아볼 수 있을 것으로 예상되는 대부분의 표준적인 주제가 포함되어 있는데, (수)열의 극한, 함수의 극한,연속성, 미분법, 적분법, 덧렬[급수], 함수들의 열과 덧렬, 거듭제곱 덧렬[멱급수] 등이 그것이다. 이런 주제들은 실 해석학 연구에서 기본적이고 이런 수준의 대부분의 교과서에 포함되어 있다. 덧붙여, 이런 교과서에서 언제나 다루지는 않는 주제도 여러 가지 이 책에 포함시켰다. 보기를 들면, 제 6 장에는 리만ㆍ스틸체스 적분에 관한 절과 숫값[수치(적)] 방법에 관한 절이 포함되어 있다. 제 7 장에는 또한 제곱해서 더할 수 있는 (수)열과 대중한[노름] 선형 공간에 대한 간단한 도입을 다룬 절이 포함되어 있다. 이런 개념들은 모두 이 책의 그 뒤의 장들에 다시 나타난다. 바이어슈트라스의 가까이하기[근사] 정리를 증명한 제 8 장에서는 가까운 항등원의 방법을 사용한다. 이것은 학생들에게 해석학에서 매우 중요한 기법을 보여주는데, 이 기법은 푸리에 덧렬[급수]에 관한 장에서 다시 사용할 것이다. 푸리에 덧렬에 관한 연구와 직교하는 함수들의 덧렬을 이용한 함수의 표현은 여러 가지 많은 분야에서 더욱더 중요해지고 있다. 이 책에 푸리에 덧렬을 포함시켰기 때문에, 학생들은 편미분 방정식에 관한 한 학기 과정을 수강하지 않고도, 이 중요한 주제에 어느 정도 접촉할 수 있는 기회를 얻는다. 또한, 마지막 장에서는 르베그 측도[잴대]와 르베그 적분을 자세하게 다루었다. 측도[잴대] 이론은 르베그의 원래 방법을 따라 접근했는데, 내측도[안잴대]와 외측도 [밖잴대]를 사용했다. 이것은 이 매우 중요한 주제에 직관적이고 여유롭게 접근할 수 있게 한다. 각 절의 끝에 있는 익힘 문제는 그 절의 개념들에 대한 이해를 강화하고, 학생들은 스스로 자신의 증명을 만들어낼 수 있는 경험을 쌓는 기회를 제공하기 위함이다. 이 책에는 일부 일상적이고 계산적인 문제가 포함되어 있지만, 많은 익힘 문제는 학생들이 해석학의 기초적인 개념들에 대해 깊이 생각해보고 자신의 창의력과 논리적 사고에 도전해 볼 수 있도록 설계됐다. 일부 선택된 문제들에 대한 풀이와 귀띔을 이 책의 끝 부분에 포함시켰다. 이런 문제들은 번호옆에 별표(*)로 표시해 놓았다. 각 장의 끝에는 그 장에 관한 주해와 연구 과제 및 더 읽을거리 목록이 실린절도 포함시켰다. 많은 경우에 주해는 해당 주제의 발달에 관한 역사적 설명을 제공하거나 그 장에 포함시키지 않은 주제를 논의한다. 연구 과제는 본문의 주제를 확장하거나 그 장 자체에서는 다루지 않았지만 중요한 주제를 다룬다. 더 읽을거리는 논의한 내용과 관련 있는 주제에 대한 참고 문헌을 제공한다. 일부 참고 문헌은 역사적인 정보를 제공하고, 다른 참고 문헌은 중요한 결과들 또는 그와 관련된 흥미로운 문제들에 대한 대안적인 풀이 방법을 제공한다. 이런 글의 대부분은 《American Mathematical Monthly》 또는 《Mathematics Magazine》에 나타나는데, 이런 잡지는 학생들도 쉽게 접근할 수 있다. 1년 동안 모든 장을 다루는 것이 지나치게 부담스럽지는 않을 것이다. 그렇지만 이 과목을 가르쳤던 나의 경험에 비추어 볼 때, 주제들을 적절하게 선택하면 두 학기 동안 이 교과서를 거의 대부분 다룰 수 있다. 한 학기 과정에서는 최소한 처음 다섯 장의 전부 또는 대부분과 제 6 장 또는 7 장의 일부 또는 전부를 다루어야 한다. 그 뒤의 장은 제 6 장과 독립적으로 가르칠 수 있다. 제 6 장에 의존하는 것은 적분 판정법뿐인데, 이것은 리만 적분을 이론적으로 취급하지 않고도 다룰 수 있다. 나머지 주제들은 둘째 학기 전체로도 충분하지 않을 것이다. 이 책을 읽는 데 필요한 공식적인 선행 필수 과목은 표준적인 3~4학기의 미분 적분학뿐이다. 특별히 재능 있는 학생은 이 과정의 첫째 학기 내용을 2학년 때 끝마치지만, 어느 정도 수학적인 성숙이 요구되므로, 평균적인 학생은 이 과정을 3학년이나 4학년에서 수강하기를 권고한다. -머리말 중에서-

지은이

맨프레드 스톨

사우스캐롤라이나 대학교 수학과 교수

옮긴이

허민

서울대학교 사범대학 수학교육과와 동대학원을 졸업하고, 미국 코네티컷 대학교 수학과에서 박사학위를 취득하였다.

현재 광운대학교 자연과학대학 수학과 교수로 있다.

저․역서로는《수학자의 뒷모습 I, II, III, IV》,《수학의 위대한 순간들(이브스 지음)》,《수학의 역사 입문(버튼 지음)》(상․하),《산학계몽(주세걸 지음)》(상․중․하),《묵사집산법 천․지․인(경선징 지음)》,《해석학의 원리(루딘 지음)》,《복소 해석학과 활용(질․새너한 지음)》,《선형 대수학과 그 응용(스트랭 지음)》등이 있다.

오혜영

서울대학교 사범대학 수학교육과를 졸업하고, 미국 코네티컷 대학교 수학과에서 석사․박사학위를 취득하였다.

인천전문대학 전자계산과 교수를 거쳐 현재 인천대학교 사범대학 수학교육과 교수로 있다.

저․역서로는《수리 통계학 입문》,《수학의 위대한 순간들(이브스 지음)》,《수학: 양식의 과학(데블린 지음)》,《수학의 기초와 기본 개념(이브스 지음)》,《해석학 입문(웨이드 지음)》,《복소 함수론과 그 응용(브라운ㆍ처칠 지음)》등이 있다.

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