이 책은 유클리드 기하학과 여러 비유클리드 기하학을 공부하고 이를 바탕으로 기하학을 좀더 실용적으로 응용 또는 다른 학문에 활용하기 위해서 기하학이란 학문이 재미있고 유익한 학문임을 알려준다. 또한 내용이 어렵지 않아서 고등학교 수학 (명석한 사람인 경우 중학교 수학) 을 배웠으면 따라가는 데에 큰 어려움이 없을 것이다. 특히, 대학교 신입생들이 중학교 또는 고등학교 수학에서 배워온 유클리드 기하학을 복습, 정리하고, 또한 평행선 공리를 다른 유클리드의 공리로부터 유도하고자 하는 과정에서 얻을 수 있는 비유클리드 기하학을 공부하기에 적합한 책이라 생각한다. 문명호 교수님의 소개로 강의를 맡게 되면서 이 책을 처음으로 접하게 되었고, 강의를 진행하면서 번역을 하게 되었다. 번역을 생각하게 된 여러 가지 동기 중의 하나는 대한수학회 소식지( 149호, 2013.)에 실린 정경훈(서울대학교)의 글 수학책 번역에 대한 단상이다. 번역서의 문서 편집기로는 한글 TEX사용자 그룹에서 배포하는 ko.TeX Live 2012를 사용하였다. ‘정리’와 ‘명제’를 구분하는 것이 어색하여 원서의 ‘Theorem’ 과 ‘Projection’ 을 모두 ‘정리’ 로 옮겼다. 원서에서 강조를 위해 또는 Theorem 등에서 사용한 이탤릭체를 한글의 고딕체로 바꾸어서 옮겼다. 정리 등의 ‘증명’과 보기의 ‘풀이’, 그리고 ‘참고’에서는 본문보다 조금 작은 글자체를 사용하였다. 길이의 단위는 문맥과 무관한 경우는 미터(cm 또는 km)로 바꾸어서 옮겼다. 용어를 선택할 때에는 ‘대한수학회의 수학 용어’와 ‘대한물리학회의 2010물리수정용어집’, 그리고 ‘국립국어원의 외래어 표기법’을 참조하였다. 혼동되는 경우를 제외하고는 영문 용어의 병기를 가급적 자제하였다. 대응되는 용어가 없거나 적당하지 않은 경우에는 다음 논문을 참고하여 옮긴이의 주관에 따랐다. 수학 용어의 개선 방향에 대한 소고, 허민(광운대학교), 한국수학교육학회지 시리즈E: 수학교육논문집 v.27, no.4, 2013. 책의 참고문헌에는 문헌 중 우리말로 번역된 책들을 추가하여 독자들의 편의를 도왔다. -번역자 머리말 중에서- 이 책은 “현대 기하학”, 소위 유클리드 이후로 발전되어 온 기하학의 이론과 응용에 대한 소개이다. 비유클리드 기하학에서 중요한 세 영역과 그 응용, 즉 구면기하학 (항법과 천문학), 사영 기하학 (예술), 그리고 시공간 기하학 (특수 상대성 이론) 을 포함하였다. 더불어, 유클리드 기하학에서 유클리드 운동의 사용에 중점을 두고 다소 유용한 주제들을 다루었다. 그리고 원뿔 곡선과 행성의 주기에 대한 장을 포함하였다. 이 책을 쓰는 동안 나의 목표는 이론과 응용을 조화시키는 것이었다. 이러한 이유는 기하학을 배우는 학생, 특히 유능한 수학 교사는 기하학이 어떻게 발생 되었는지는 물론 어떻게 사용되는지에 대해 잘 알고 있어야 한다고 생각되었기 때문이다. 이 책에 소개되는 각각의 주제는 어떤 한 가지 응용이 동기가 되어 다루었고 추가적인 응용은 문제로 두었다. 응용에 대한 이러한 강조로 인해 주제를 선택할 때 다소 비전통적인 것을 택하기도 하였다. 학부 학생들에게 잘 이해될 수 있는 구체적인 응용이 없는 전통적인 주제인 쌍곡 기하학은 다루지 않았다. 대신에 완벽한 비유클리드 기하학으로 실제 우주와 놀라울 만큼의 밀접한 연관을 갖는 특수 상대성 이론의 시공간 기하학을 다루었다. 책의 내용은 대학 2, 3, 4 학년의 학생들에게 한 학기 동안 강의하기에 충분한 분량이다. 또한 많은 연습 문제를 포함하였는데 대부분 일상적이지 않는 것들이다(관련된 일상적인 문제들은 강의하시는 선생님들께서 제공해주시길 바랍니다). 예시한 그림은 마이크로그래픽의 Windows Draw 3.0과 월프람 리서치의 Mathematica 2.2를 사용하여 PC에서 준비하였다. -저자 머리말 중에서-

지은이 머리말 v

제 1 장 유클리드 기하학 1

1.1 유클리드 공간 . 1

1.2 등거리 변환과 합동 . 2

1.3 평면에서의 반사 . 4

1.4 공간에서의 반사 . 6

1.5 평행 이동 . 8

1.6 회전 . 10

1.7 응용과 보기 . 12

1.8 고등학교 기하학의 주요 결과 . 20

1.9 SSS, ASA 그리고 SAS . 32

1.10 일반적인 등거리 변환 . 43

1.11 부록 : 면적기 . 46

제 2 장 구면 기하학 51

2.1 측지선 . 51

2.2 구 위의 측지선 . 55

2.3 구면 삼각형의 여섯 개의 각 . 57

2.4 변에 대한 코사인 법칙 . 63

2.5 쌍대 구면 삼각형 . 65

2.6 각에 대한 코사인 법칙 . 68

2.7 구면 삼각형에 대한 사인 법칙 . 72

2.8 항해 문제 . 73

2.9 지도 만들기 . 77

2.10 입체 사영에 대한 응용 . 89

제 3 장 원뿔 곡선 97

3.1 원뿔의 절단선 . 97

3.2 타원과 쌍곡선의 초점 . 101

3.3 이심률과 준선 ; 포물선의 초점 . 105

3.4 접선 . 108

3.5 원뿔 곡선의 초점에 모이는 성질 . 112

3.6 연습 문제 : 매끄러운 원뿔 곡선의 표준 방정식 . 114

3.7 로란 항법 . 116

3.8 케플러의 행성 운동 법칙 . 118

3.9 부록 : 표준 이차 방정식 . 128

제 4 장 사영 기하학 133

4.1 원근법 . 133

4.2 사영 공간 . 138

4.3 데자르그 정리 . 141

4.4 복비 . 145

4.5 좌표 공간에서의 사영 . 154

4.6 동차 좌표와 쌍대 . 156

4.7 동차 다항식, 대수 곡선 . 161

4.8 접선 . 165

4.9 쌍대 곡선 . 167

4.10 파스칼 정리와 브리앙송 정리 . 170

제 5 장 특수 상대성 이론 175

5.1 시공간 . 175

5.2 갈릴레이 변환 . 178

5.3 갈릴레이 변환의 실패 . 181

5.4 로런츠 변환 . 182

5.5 상대적인 속도 더하기 . 190

5.6 로런츠-피츠제럴드 수축 . 192

5.7 민코프스키 기하학 . 194

5.8 가장 느린 경로는 직선이다 . 200

5.9 쌍곡 각과 속도 덧셈 공식 . 203

5.10 부록 : 원 함수와 쌍곡 함수 . 205

참고 문헌 211

찾아보기 215

지은이

조지 A. 제닝스(George A. Jennings)

1975년U.C. 버클리 대학 수학전공 학사,

1984년U.C. 로스앤젤레스 수학전공 박사.

현재 캘리포니아 주립대학교 수학과 교수이다.

옮긴이

최윤철

서울대학교 수학과와 동대학원 이학석사·박사를 마치고,

현재 광운대학교 교양학부 교수이다.

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