이 책은 Hilbert의 “Grundlagen der Geometrie”, 10th Ed.의 영문 번역판 “Foundations of Geometry”를 골격으로 하고 또 이 책의 참고문헌에 기록된 책들의 내용 등을 참고로하여 강의한 기하학 개론의 내용이다. 고전적인 유클리드 기하의 개념을 확실히 함으로써 현대 수학의 방법과 동기를 제공하기를 목적으로 하고 있다. 기하는 극소수의 단순한 공리들(axioms)에서 출발하는 연역적인 학문이다. 기하 공리계의 확립과 그 공리들로부터 유도될 수 있는 기하적 성질들의 뜻과 중요성 등을 연구하는 것은 우리의 공간 인식의 논리적 해석 문제와 동등한 것으로 Euclid 시대 이래로 많은 수학자들의 관심사였다.
기하의 이러한 연구는 수학의 많은 타 분야에 동기를 제공하게 되었고 그 자신도 상당한 발전을 거듭하여 왔다. Hilbert의 책은 Euclid 기하 공리를 추상적이고 논리적으로 완전하고 일관성 있게 전개하였고 또 실수의 계산 속에 이 공리를 통합하여 인간의 기하적 개념을 이상적 진리로서 바꾸어 놓는 데 매우 중요한 역할을 하고 있다. 이 책의 목적은 이러한 Hilbert의 Euclid 기하 공리계의 확립과 실수 계산 간의 연관성을 논의하면서 여기서 야기되는 다양한 기하적 문제들이 수학의 타 분야 연구에 부여하는 직접적인 동기와 그 연구 방법을 살펴보고자 하는 데 있다.
후반부에서는 Euclid기하의 바탕인 고전적인 작도문제를 논하고 기하적인 문제들이 어떻게 대수적인 방법으로 변환되는가 하는 것을 다룬다.
이 책은 한 학기용으로 가능하며 제1장은 기하의 증명에서 주의해야 할 기초적인 논리에 관한 것으로서 요약하여 1시간 정도에 마칠 수 있다. 제2장은 Hilbert의 재정립된 Euclid 기하 공리계를 소개하고 그로부터 유도되는 기본적인 기하적 정리들을 소개한다. 제3장은 순서 대수체에 의한 Euclid 공리계의 일관성과 각 공리들의 독립성을 보여준다. 제4장, 5장에서는 선분의 비례이론과 평면도형의 면적이론을 소개하였고, 이것이 공간도 형들의 체적이론에도 성립할 것인가를 묻는 Hilbert의 3번 문제의 해와 그 뜻을 요약한다. 제6장에서는 사영기하의 기본인 Pascal 정리와 Desargues 정리를 소개하고, 이들을 이용하여 선분의 연산법을 소개한다. 또한 사영기하의 가장 중요한 주제 중의 하나인 점과 선의 결합관계를 다룬 배열정리들과 그 응용들을 소개한다. 제7장에서는 앞의 여러정리를 사용하여 기하적 작도 문제를 다루고 이로부터 기하 문제들과 대수적 이론의 관계를 소개하였으며, 제8장에서는 대수학적 이론의 결과로서 고전적인 작도문제들의 해들을 보여준다. 실제의 작도문제에는 반전변환이 유용하므로 반전변환의 성질들과 그 응용을 다룬다. 시간의 제약을 고려한다면 부록이나 기술적인 증명은 생략할 수 있다.
-머리말 중에서-
