본 개정판은 전판과 마찬가지로 두 학기용으로 구성되어 있지만 필요한 내용을 선택하여 한 학기용으로도 사용할 수 있다. 미분기하학 교과목이 두 학기 과정으로 되어 있는 경우에는 대부분의 내용을 강의할 수 있다고 판단된다. 그러나 미분기하학 교과목이 한 학기 과정으로 되어 있는 경우에는 모든 내용을 다루는 것이 불가능하다고 생각된다.이 경우에는 1장, 2장 1-2절, 3장, 4장 1-2절, 5장 1-2절, 6장을 택하여 강의하면 학부과정의 미분기하학에서 학습해야 할 핵심적인 개념을 다루면서 한 학기에 마칠 수 있는 분량이라고 판단된다. 개정판과 전판과의 가장 큰 차이점을 연습문제이다. 전판의 연습문제가 너무 적다고 판단하여 개정판에서는 새롭고 유용한 문제를 각 절마다 첨가하여 학생들이 기하학의 내용을 이해하는데 도움이 되도록 하였다. 또한, 정의로 사용하는 용어는 가급적이면 가장 보편적인 것으로 택하여 전판의 용어를 바꾸거나 변경하였다. 따라서 개정판에는 전판에서와 같은 의미를 나타내지만 다른 용어를 사용한 경우가 있다. -머리말 중에서-

제 1 장 곡선

1.1 유클리드 공간 _ 1

연습문제 • 6

1.2 매개곡선 _ 9

연습문제 • 14

1.3 곡선의 길이 _ 16

연습문제 • 21

1.4 곡선의 벡터장 _ 23

연습문제 • 26

1.5 방향과 벡터곱 _ 28

연습문제 • 35

1.6 곡률과 비틀림 _ 37

연습문제 • 43

1.7 임의속력곡선 _ 47

연습문제 • 56

1.8 등장사상 _ 59

연습문제 • 67

제 2 장 접벡터와 공변미분

2.1 접벡터 _ 71

2.2 방향도함수 _ 76

연습문제 • 79

2.3 다변수함수의 미분 _ 81

연습문제 • 88

2.4 벡터장 _ 90

연습문제 • 95

2.5 벡터장의 미분 _ 98

연습문제 • 102

제 3 장 정칙곡면

3.1 정칙곡면의 정의 _ 10 5

연습문제 • 118

3.2 좌표함수의 변환과 곡면함수의 미분 _ 121

연습문제 • 125

3.3 접평면 _ 127

연습문제 • 132

3.4 제1기본형식과 넓이 _ 134

연습문제 • 140

3.5 곡면의 방향 _ 14 2

연습문제 • 147

제 4 장 국소적 곡면 이론

4.1 가우스사상 및 곡률 _ 150

연습문제 • 168

4.2 곡률공식 _ 170

연습문제 • 183

4.3 주곡률선, 점근곡선 및 측지선 _ 186

연습문제 • 194

제 5 장 여러 가지 곡면

5.1 대역적 곡면이론 _ 197

연습문제 • 205

5.2 회전면 _ 20 6

연습문제 • 216

5.3 선직면 _ 217

연습문제 • 226

5.4 극소곡면 _ 228

연습문제 • 235

제 6 장 곡면의 불변적 이론

6.1 등장사상 및 등각사상 _ 239

연습문제 • 247

6.2 가우스의 정리 _ 249

연습문제 • 258

6.3 가우스-보네의 정리 _ 259

연습문제 • 276

제 7 장 미분형식과 구조방정식

7.1 일차미분형식 _ 282

연습문제 • 287

7.2 미분형식과 쇄기곱 _ 289

연습문제 • 297

7.3 틀마당 및 연결형식 _ 300

연습문제 • 307

7.4 구조방정식 _ 30 9

연습문제 • 313

7.5 곡면의 미분형식과 적분 _ 315

연습문제 • 326

7.6 곡면의 구조방정식 _ 328

연습문제 • 339

7.7 곡면의 기본정리 _ 340

제 8 장 리만기하학

8.1 2차원 미분다양체 _ 34 8

연습문제 • 375

8.2 미분형식과 텐서 _ 377

연습문제 • 384

8.3 리만계량 _ 385

연습문제 • 390

8.4 접속과 곡률텐서 _ 391

연습문제 • 402

8.5 모형공간 _ 403

8.6 틀마당 표현 _ 4 12

8.7 측지선과 지수사상 _ 417

연습문제 • 437

부록

A. 대칭행렬, 고유값과 고유벡터 _ 439

B. 역함수의 정리와 음함수의 정리 _ 441

C. 상미분방정식과 나팔곡면의 생성곡선 _ 451

D. 정답 및 도움말 _ 453

참고문헌 _ 475

찾아보기 _ 477

윤갑진

서울대학교 사범대학 수학교육학과 이학학사

서울대학교 대학원 수학과 이학석사

미국 뉴욕주립대학교(Stony Brook) 대학원 수학과 이학박사

현재, 명지대학교 자연과학대학 수학과 교수

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