이 책의 목적은 다변수 미분적분학을 이용하여 유클리드 공간에 놓인 곡선과 곡면을 탐구함에 있다. 유클리드 공간에 놓인 곡선은 실수 구간에서 유클리드 공간으로 대응하는 사상으 로 정의된다. 곡선에서는 일계 미분을 이용하여 곡선이 나아가는 속도벡터를 알 수 있 으며, 이계 미분을 이용하여 곡선이 휘는 가속도벡터를 알 수 있고, 삼계 미분을 이용 하여 곡선의 비틀림까지 알 수 있다. 
곡선의 성질을 나타내는 여러 값을 나타냄에 있어서 유클리드 공간의 기본틀을 이용하지 않고 곡선의 움직임이 반영된 프레네 틀인움직이는 틀을 이용한다. 이를 통하여 곡선의 성질을 쉽게 파악할 수 있다. 유클리드 공간에 놓인 곡면은 국소적으로 평면의 영역에서 공간으로의 사상의 상으로 나타낼 수 있는 집합으로 정의된다. 곡선이 하나의 사상임과 대조적으로, 일반적 인 곡면은 국소적으로 좌표조각을 이용하여 곡면을 나타낸다. 
곡면에서는 일계 미분을 이용하여 나타낸 제1 기본형식을 이용하여 작용점에서 곡면의 접평면을 알 수 있고, 이계 미분을 이용하여 나타낸 제2 기본형식을 이용하여 곡면의 이차 근사를 알 수 있다. 제1 기본형식과 제2 기본형식은 곡면의 모양을 결정한다. 곡면의 단위법선벡터장을 이용하여 정의되는 가우스 사상과 단위법선벡터장의 변화율로 정의되는 바인가르텐 사상은 곡면의 성질을 탐구하는데 유용하다 곡면에서 곡면에 놓인 정보인 제1 기본형식에 종속적인 성질을 곡면의 내재적 성 질이라고 한다. 
가우스 곡률과 측지선은 곡면의 대표적인 내재적 성질이다. 가우스 곡률이 음수이면 곡면의 이차 근사는 말안장면이며, 가우스 곡률이 양수이면 곡면의 이차 근사는 타원포물면이다. 평면에 놓인 직선에 대응되는 곡선으로서 측지선은 측지적 곡률이 0인 곡선이다. 평면에 놓인 삼각형의 내각의 합이 반 회전각임은 삼각형의 외각의 합이 일 회전각임으로 변형할 수 있다. 모든 다각형의 외각의 합은 일 회전각이다. 이를 곡면에 놓인 단순닫힌 곡선으로 확장시킨 정리가 가우스-보네 공식이다. 

-머리말 중에서-

머리말 

제 1 장 유클리드 공간
1.1 유클리드 공간
1.2 벡터의 내적
1.3 벡터의 외적
1.4 접벡터와 사상의 미분
1.5 쌍대공간과 텐서공간
1.6 미분일형식
1.7 유클리드 공간에서 직교변환과 등거리변환

제 2 장 곡선 
2.1 곡선
2.2 단위속력곡선에 대한 프레네-세레 장치
2.3 정칙곡선에 대한 프레네-세레 장치
2.4 곡선의 기본정리
2.5 평면곡선의 대역적 성질

제 3 장 곡면
3.1 곡면
3.2 곡면의 접벡터와 벡터장
3.3 곡면의 제1 기본형식
3.4 곡면 좌표조각의 이계편미분벡터장
3.5 곡면의 제2 기본형식
3.6 곡면의 점에서 주곡률과 주방향

제 4 장 곡면의 내재적 성질
4.1 곡면의 가우스 곡률
4.2 측지선
4.3 곡선을 따라서 곡면 접벡터의 평행운송
4.4 가우스-보네 공식

참고 문헌 
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이선홍
포항공과대학교 수학과(이학사)
포항공과대학교 대학원 수학과(이학석사, 이학박사)
현재 경상국립대학교 자연과학대학 수학과 교수

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