차 례
머리말 iii
제 0 장 준비학습 1
0.1 수와 집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 실수 전체의 집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
제 1 장 가측함수 13
1.1 -대수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 가측함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
제 2 장 측도공간 39
2.1 측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 측도의 완비화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
제 3 장 음이 아닌 가측함수의 적분 63
3.1 음이 아닌 가측함수의 적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 단조수렴정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
제 4 장 적분가능한 함수 85
4.1 적분가능한 함수공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 르베그 지배수렴정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 절대수렴 적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 복소숫값을 가지는 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
제 5 장 리만 적분과 르베그 적분의 비교 105
5.1 리만 고유적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2 르베그 적분과 고유적분의 비교 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 르베그 적분과 이상적분의 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4 볼록함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
제 6 장 르베그 공간 131
6.1 노름공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 르베그 공간 L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3 르베그 공간 Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.4 르베그 공간 L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
제 7 장 측도의 생성 157
7.1 외측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2 르베그-스틸체스 측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
제 8 장 곱측도 191
8.1 곱측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2 Fubini 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
제 9 장 정칙측도와 Riesz 표현정리 219
9.1 함수공간 Cc(X;R) & C0(X;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.2 정칙측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9.3 선형범함수에 의하여 유도된 측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.4 Riesz 표현정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
제 10 장 유클리드공간 위의 측도 245
10.1 거리 외측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.2 반연속 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.3 Rn 위의 르베그 외측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.4 르베그 측도의 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.5 Hausdorff 측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
제 11 장 르베그 적분의 응용 291
11.1 유클리드 공간과 Fubini 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.2 적분에 의하여 정의된 함수의 미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
제 12 장 완비화공간과 합성곱 319
12.1 함수공간의 완비화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.2 합성곱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.3 합성곱의 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
제 13 장 수렴의 형태 349
13.1 기본개념 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
13.2 Lp-수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
13.3 측도수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
13.4 거의 균등수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
제 14 장 부호를 갖는 측도 375
14.1 양집합음집합영집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
14.2 Hahn 분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
14.3 Jordan 분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
제 15 장 부록 397
15.1 문자표그리스어 숫자표 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
15.2 관계순서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
15.3 무조건수렴이중수열이중급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.4 거리공간의 일반적 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
15.5 유클리드 공간 Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
15.6 위상공간에 관한 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
15.7 Summable에 관한 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
15.8 상극한하극한 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
15.9 단조 연속함수의 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
참고문헌 427
연습문제풀이 429
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