현대수학은 놀랄 만큼 빠르게 성장하여 한 명의 수학자가 모든 분야를 연구하는 것은 이미 오래전 불가능해졌으며 미래의 수학은 더욱 빠른 속도로 성장할 것이 예상된다. 한편 수학의 영향력은 점차 확대되어 가고 있는데, 컴퓨터과학, 양자정보학, 금융투자, 인공지능에 이르기까지 더욱더 많은 사람들이 수학의 힘을 깨달아서 이제는 수학의 유용성에 대해서 대중에게 설명할 필요가 없어진 지 오래다.
이러한 눈부신 변화는 역설적으로 수학을 배우는 학생들을 곤란하게 만드는데, 대학에서 4년을 배우고도 수학 전체의 내용을 조망하는 것이 힘들고 박사과정까지 마쳐야 겨우 자신의 연구주제에 대해 전문성을 확보할 수 있을 뿐이다. 수학 전체에 대한 시야를 확보하고, 향후 수학이 어떻게 발전할지 가늠하는 것은 수십 년에 걸쳐 꾸준히 연구해온 수학자들에게도 어려운 일이 되었다.
물리학에 관심 있는 사람은 물리학개론, 화학은 화학개론, 생물학은 생물학개론을 읽으면 대학 신입생들도 아주 전문적인 내용은 말고라도 대체적인 흐름을 파악하는데 문제가 없고 각 학문의 현주소와 방향성을 확인할 수 있다.
수학을 제외한 이런 학문들에는 자연이 제공하는 뚜렷한 목표와 한계가 존재하며 새로운 이론은 기존의 이론을 대체하지만, 현실의 제약으로부터 자유롭고 무모순인한 계속 지식을 늘려가는 수학은 인류가 발견해낸 가장 방대하고 심오한 학문이 되어 수천 쪽의 분량으로도 그러한 시도 자체가 무의미하다.

그럼에도 불구하고 현대수학에 대해 조망하고 그 흐름을 이해하고 싶은 학생들은 어떻게 해야 할까?
다양한 접근법이 있을 수 있겠지만 한 가지 유효한 접근은 수학자 해리 셀던의 방법이다. 현대수학이 폭발적으로 팽창하기 직전, 너무 복잡하지 않으면서도 현대수학의 배아들이 한 곳에 모여있는 순간에 집중하는 것이다. 그 순간이 바로 1900년 세계수학자대회이고 이때 제시된 Hilbert의 23개의 문제들이 현대수학의 배아들이라 할 수 있다.
Hilbert는 28세의 나이에 당대 수학의 최고봉으로 꼽히던 불변량 이론의 근본문제를 해결하여 일약 세계적인 스타로 떠올랐다. 그후로도 정수론, 기하학, 수리물리학 등에 눈부신 업적을 이어갔고, 1900년 열린 제2차 세계수학자대회에 초청받아, 20세기를 이끌어갈 수학 문제 23개를 발표하여 현대수학의 문을 활짝 열었다.
Hilbert가 수학 전체를 조망하며 수학 전반에 기여할 수 있었던 마지막 수학자였다고 할 수 있으며 이후 수학은 급속히 팽창을 계속하여 앞서 얘기했듯이 어느 한 개인도 수학의 광대한 영토를 다 경험할 수는 없게 되었다.
그러므로 해리 셀던의 방법으로 수학에 대해 이해하고 미래를 예측하려 한다면 Hilbert를 기준으로 삼는 것이 가장 적합할 것이다. 따라서 Hilbert의 문제들을 소개하고 그 현주소를 확인하는 것은 20년 전이나 지금이나 마찬가지로 유효하다.

연속체 가설
산술공리의 무모순성
삼각뿔의 부피
직선과 기하학
Lie의 군론
무리수와 초월수
소수
Diophantus 방정식
이차형식
방정식의 해법
불변량 이론과 유리함수
Schubert 계산법
곡선의 모양
양 유리함수와 제곱의 합
결정 분류 문제
공 쌓기
나머지 문제들
부록

김명환

서울대학교 수리과학부 명예교수
대한수학회장 역임
한국과학기술한림원 회원
상산고등학교 교장
주요 저서 《수리암호학 개론》

김홍종
서울대학교 명예교수
GIST 초빙석학교수
주요 저서 《문명, 수학의 필하모니》, 《미적분학 1, 2》, 《과학으로 수학보기, 수학으로 과학보기》

김영훈
서울대학교 수리과학부 교수
주요 저서 《양자 정보 이론》

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