이 책은 2015년 초에 낸 《해석개론: 기초 원리와 연습 상·하》권을 합쳐서 단권으로 짧게 엮은 것이다. 《해석개론: 기초 원리와 연습 상·하》에서는 해석학을 처음 공부하는 학생들에 게 도움을 주고자 많은 수의 보기와 연습문제를 담았지만, 양적으로 다소 과한 부분이 있었고, 특히 각 장의 끝에 있는 단원 종합 연습문제의 분량이 많고 난이도가 고르지 못하다는 의견이 있어 개정판을 내면서 일부 단원종합연습문제를 없앴다. 

또한, 보통의 해석학 입문서에서 다루는 일부 결과들에 대한 심화내용을 《해석개론: 기초 원리와 연습 상·하》의 부록에 두었지만, 그 내용이 다양하고 분량이 많았으며, 이 책의 본문을 이해하는 데 꼭 필요한 결과들이 아니어서 과감히 삭제하였다. 덧붙여, 《해석개론: 기초 원리와 연습 상·하》의 일부 본문내용(주로 본문에 실린 일부 연 습문제)도 다소 축소하였지만 그 내용구성에는 거의 변동이 없고, 다만 이 책의 나머지 부분 을 공부하는 데 거의 영향이 없는 9.1절(계단함수의 적분), 9.8절(유계변동함수)과 9.9절(리 만- 스틸체스 적분)은 학습 부담을 줄이고자 온전히 삭제하였다. 

이 책은 대학에서 해석학을 처음 공부하는 학생들을 위한 것이다. 교과목의 차이가 다소 있을 수 있지만, 우리나라의 대부분 대학에서 개설하는 학부생을 위한 해석학 전공과목은 보 통 미적분학, 고등미적분학, 해석학입문(또는 기초해석학), 복소해석학, 실해석학 순이다. 

본 교재는 우리나라 고교수학교과과정을 이수한 학생으로 고교교과과정 수준의 대수적 기법과 삼각함수의 미적분을 잘 이해하고 있는 학생이라면 누구라도 충분히 학습 가능한 내용으로 구 성하였다. 대학 초년생으로서 미적분학을 처음 배울 때에는 미분법과 적분법에 대한 적용기법을 공 부하고 그 응용력을 신장시키는 데 많은 노력을 기울이는 다소 계산 위주의 학습방법을 추구 하지만, 해석학을 처음 공부하는 초심자는 미적분학에서 공부한 이론의 가정들을 깊이 있게 고찰하고, 이론적 전개와 논증을 엄밀히 수행하는 법을 익히는 데 대부분의 노력을 할애해야 한다. 
이런 의도에 맞추어 본 교재는 기본개념의 이해를 다지는 기초과정부터 심도 있는 학습 훈련을 병행할 수 있도록 의미 있는 연습문제를 다수 제시하였고, 각 단원의 마지막 절에는 단 원종합연습문제를 따로 두어, 학습한 바를 재정리할 수 있는 기회를 제공하였다.

 -머리말 중에서-

"머리말 iii

어느 천재 수학자의 공부법 v
 

제 1 장 예비지식 1
1.1 수학적 귀납법 . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . . . 13

제 2 장 실수의 성질과 다항식 17
2.1 체의 공리 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 순서 공리 . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 완비성 공리 . . . . . . . . . . . . . . .  28
2.4 셀 수 있는 집합 . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 다항식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 실수의 유리수 근사 . . . . . . . . . . 52

2.7 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . . . 57 

제 3 장 수열 63
3.1 수열의 극한 . . . . . . . . . . . . . . .  63
3.2 코시 수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 볼차노-바이어슈트라스 정리 . . . 85
3.4 단조수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 코시 수열의 수렴성 . . . . . . . . .  101
3.6 십진분수 표현 . . . . . . . . . . . . . 105
3.7 실수지수를 갖는 멱의 법칙 . . . . 107
3.8 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . .  112

제 4 장 함수 121
4.1 함수의 극한 . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 연속함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3 상한과 하한의 기본 성질 . . . . . . 151
4.4 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . . .154

제 5 장 무한급수와 지수함수 163
5.1 무한급수의 수렴과 발산 . . . . . .  163
5.2 무한급수들의 곱 . . . . . . . . . . .   179
5.3 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . .   187

제 6 장 연속함수의 기본 성질 195
6.1 사잇값정리 . . . . . . . . . . . . . . .  195
6.2 최대최소정리 . . . . . . . . . . . . .   209
6.3 고른연속 . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.4 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . . . 223

제 7 장 자연로그와 지수함수 231
7.1 자연로그 . . . . . . . . . . . . . . . . .  231
7.2 몇 가지 극한의 계산 . . . . . . . . .  236
7.3 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . . . 238

제 8 장 미분 241
8.1 미분가능성 . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.2 고차도함수 . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.3 극값, 평균값정리 . . . . . . . . . . . . 255
8.4 볼록함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.5 로피탈 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.6 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . . .   289

제 9 장 적분 299
9.1 리만 적분 . . . . . . . . . . . . . . . . .  299
9.2 적분가능성 . . . . . . . . . . . . . . . .  303
9.3 리만 합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
9.4 미적분학의 기본정리 . . . . . . . . .  327
9.5 이상적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.6 오일러 감마함수 . . . . . . . . . . . .  .  362
9.7 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . . . . . 366

제 10 장 함수열과 함수항 급수 377
10.1 함수열의 수렴 . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.2 연속함수열의 고른 수렴 . . . . . . . .  386
10.3 함수항 급수의 고른 수렴 . . . . . . . . 392
10.4 미분가능한 함수열의 고른 수렴 . . . 398
10.5 적분가능한 함수열의 고른 수렴 . . . 403
10.6 바이어슈트라스 근사정리 . . . . . . . 410

10.7 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . . . .  416 

제 11 장 거듭제곱 급수와 테일러 전개  423
11.1 거듭제곱 급수의 수렴반경 . . . . . . 423
11.2 거듭제곱 급수의 합과 곱, 그리고 합성   433
11.3 거듭제곱 급수의 기본정리 . . . . .   435
11.4 테일러 전개 . . . . . . . . . . . . . . . . 441
11.5 해석함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
11.6 단원 종합 연습문제 . . . . . . . . . .  459

제 12 장 부록 465
12.1 해석학의 시작 . . . . . . . . . . . . . . 465
12.2 독일어·라틴어·그리스어 문자표 .  467

참고문헌 468
찾아보기 475

박성희
전북대학교 자연대학 이학사(수학) 및 대학원 이학석사(수학)
독일 올덴부르크대학교 이학박사(수학)
현재 전주대학교 사범대학 수학교육과 교수

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