위상수학은 공간의 성질을 연구하는 학문이다. 공간은 집합의 부분집합 사이에 관계를 줌으로써 형성되며, 다양한 관계가 다양한 위상공간을 만들어낸다. 위상수학은 수학 연구에 필수과목이다. 국소적으로는 극한의 개념으로부터 시작한 해석학과 기하학의 개념 정립과 발전에 기여하였으며, 광의적으로는 공간의 대역적 구조를 밝힘으로써 추상대수학과 기하학을 연계되어 상호 발전하였다. 위상수학은 크게 세 분야로 분류할 수 있다. 집합론과 논리학에 근거한 일반 위상수학, 공간상에 대수학을 이용한 대수적 위상수학, 그리고 다양체상에 해석학과 기하학을 이용한 미분위상수학이 그 세 분야이다. 이 세 분야는 이 책의 집필 동기와도 관련이 있다. 현대의 위상수학 연구는 일반위상수학을 근간으로 하여 대수적위상수학과 미분위상수학 연구가 주류이며, 나아가서 대수기하학, 이론물리학 등 여러 분야와 연계하여 연구하고 있다. 그러나 대부분의 학부과정에서는 일반위상수학 분야만을 다루는 교재를 사용하고 있다. 그리하여 저자는 일반위상수학뿐만 아니라 대수적위상수학과 미분위상수학 입문 내용도 자연스럽게 연계하여 소개하는 위상수학 입문서가 필요하다고 생각하여 이 책을 집필하게 되었다. 이 책은 수학을 공부하는 학생을 위한 위상수학 입문서로서 1년간에 다룰 수 있는 분량인 총 11장으로 구성되어 있다. 첫째 학기에는 제1장에서 제7장까지 일반위상수학을 다루며, 둘째 학기에는 제8장과 제9장에서 대수적위상수학 입문을, 그리고 제10장과 제11장에서 미분위상수학 입문을 다루도록 집필하였다. 보다 구체적으로 기술하자면, 일반위상수학 분야인 제1장에서는 집합과 함수, 제2장에서는 위상의 정의, 닫힌포, 내부와 외부, 기저와 부분기저, 제3장에서는 연속함수와 위상적 성질, 제4장에서는 적공간과 상공간, 제5장에서는 위상공간의 연결성과 컴팩트성, 제6장에서는 분리공리, 연속함수의 확장, 한점 컴팩트화, 공간의 분류, 제7장에서는 완비거리공간, 범주정리, 함수공간을 공부한다. 대수적위상수학 입문 분야인 제8장에서는 패스의 호모토피, 기본군의 정의, 원의 기본군, 반-캄펜 정리, 기본군의 예, 제9장에서는 피복공간, 피복 호모토피 정리, 전피복공간, 피복공간과 기본군을 공부한다. 미분위상수학 입문 분야인 제10장에서는 미분다양체, 접공간, 몰입과 매장, 침몰과 횡단성, 사드정리와 모스함수, 경계를 갖는 다양체를 공부하며, 제11장에서는 외대수, 미분 형식, 다양체상의 적분, 외미분, 드람 코호몰로지, 스토크스 정리, 차수공식을 공부한다. -머리말 중에서-

제 1 장 집합(Set)과 함수(Function)

1.1 집합(Set) 2

1.2 함수(Function) 5

제 2 장 위상공간(Topological Space)

2.1 위상(Topology) 10

2.2 닫힌포(Closure) 13

2.3 내부(Interior), 외부(Exterior)와 경계(Boundary) 17

2.4 기저(Basis)와 부분기저(Subbasis) 19 

제 3 장 연속함수(Continuous Function)

3.1 연속함수(Continuous Function) 24

3.2 위상적 성질(Topological Property) 29

제 4 장 적공간(Product Space)과 상공간(Quotient Space)

4.1 적공간(Product Space) 36

4.2 상공간(Quotient Space) 40

제 5 장 연결공간(Connected Space)과 컴팩트공간(Compact Space)

5.1 연결공간(Connected Space) 46

5.2 컴팩트공간(Compact Space) 49

제 6 장 위상공간의 분류(Classification of Topological Spaces)

6.1 분리공리(Separation Axioms) 56

6.2 연속함수의 확장(Extension of Continuous Function) 65

6.3 한점 컴팩트화(One Point Compactification) 71

6.4 파라컴팩트 공간(Paracompact Space) 75

6.5 공간의 분류(Classification of Topological Spaces) 80

제 7 장 함수공간(Function Space)

7.1 완비거리공간(Complete Metric Space) 88

7.2 범주정리(Category Theorem) 92

7.3 함수공간(Function Space) 95

제 8 장 기본군(Fundamental Group)

8.1 패스 연결성(Path Connectedness) 104

8.2 패스(Path)의 호모토피(Homotopy) 106

8.3 기본군(Fundamental Group) 109

8.4 원(Circle)의 기본군 114

8.5 반-캄펜 정리(Van-Kampen Theorem) 117

8.6 기본군의 예 120

제 9 장 피복공간(Covering Space)

9.1 피복공간(Covering Space) 128

9.2 피복호모토피 정리(Covering Homotopy Theorem) 132

9.3 전피복공간(Universal Covering Space) 142

9.4 피복공간과 기본군 149

제 10 장 미분다양체(Differentiable Manifold)

10.1 미분다양체(Differentiable Manifold) 158

10.2 접공간(Tangent Space) 162

10.3 몰입(Immersion)과 매장(Embedding) 167

10.4 침몰(Submersion) 172

10.5 횡단성(Transversality) 178

10.6 사드정리(Sard Theorem)와 모스함수(Morse Function) 181

10.7 경계를 갖는 다양체(Manifold with Boundary) 188

10.8 일차원 다양체(One Dimensional Manifold) 193

제 11 장 드람 코호몰로지(De Rham Cohomology)

11.1 외대수(Exterior Algebra) 198

11.2 미분형식(Differential Form) 206

11.3 다양체상의 적분(Integration on Manifold) 210

11.4 외미분(Exterior Derivative) 218

11.5 드람 코호몰로지(De Rham Cohomology) 223

11.6 스토크스 정리(Stokes Theorem) 231

11.7 차수공식(Degree Formula) 235

■ 참고문헌 243

■ 찾아보기 245

조용승

이화여자대학교 명예교수 

성균관대학교 초빙교수

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