“수란 무엇인가?”라고 물으면 당신은 어떻게 대답하시겠습니까? 간단한 것 같지만, 조금만 생각해도 답하기 어려운 문제임을 알 것입니다. ‘수’라 이름 붙은 것을 열거해가는 것은 하나의 답이 될 수 있습니다. 자연수, 정수, 유리수, 실수, 혹은 복소수 등은 모두 수라는 이름이 붙어 있습니다. 그 외에도 사원수라는 것이 있습니다. 그럼 “또 다른 수는 없는가?”라고 물으면, 역시 간단히 답할 수 있는 문제가 아님을 알 것입니다. 벡터는 수를 이용하여 나타낼 수 있지만, 벡터 자신은 수가 아닙니다. 그렇다면, 어떤 것에 ‘수’라는 이름이 붙기 위한 자격은 무엇일까요? 

음수나 분수를 처음 배웠던 때를 상기하면, 때로는 그 의미를 이해하기 어려웠지만, 덧셈이나 곱셈에 의해 다양한 계산을 할 수 있는 편리한 것이었습니다. 게다가 유리수는 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 것이 특징이며, 역으로 말해 그렇게 생각해서 만들었다고도 할 수 있습니다. 그러나 그것만으로는 실수나 복소수를 특징지을 수 없습니다. 실수나 복소수는 수학의 오랜 역사 속에서 조금씩 모습을 드러내왔고, 19세기가 되어서야 비로소 엄밀한 모습으로 정돈되었습니다. 유리수나 실수의 집합은 유리수체 혹은 실수체라고도 불립니다. 여기서 체라는 것은 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 것들의 집합이라고 엄밀히 정의할 수 있습니다. 

그러나 사칙연산이 가능한 것을 모두 수라고 할 수는 없습니다. 체 속에는 어떤 종류의 함수들의 집합처럼, 수의 집합이라고 생각하기 어려운 것도 있습니다. 어쨌든, 수란 무엇인가라는 물음에 답하려면, 각각의 수가 수학의 발전의 흐름 속에서 어떻게 탄생했는가를 살펴보는 것이 필요하겠지요. 수와 나란히 수학의 대상이 되는 것이 도형입니다. 추상적인 수와 직감적인 도형은 수학을 이해하는 데 있어 서로 보완하는 관계입니다.  1/3이란 1을 삼등분하는 것인데, 이러한 분수의 의미를 이해하려면 선분의 길이라는 아이 디어가 효과적이지요. 도형의 학문으로서 그리스 시대에 완성된 유클리드 기하의 그 이론적 엄밀성에 놀랄 것입니다. 

역으로 말하면 그 높은 완성도 때문에, 근세가 되기까지 새로운 진전은 볼 수 없었습니다. 그 이유 중 하나는 수 이론이 충분히 발전하지 않았던 점도 있습니다. 예를 들면, ‘부피가 2인 정육면체를 자와 컴퍼스로 작도할 수 있을까?’라는 문제가 있었습니다. 이것은 2의 세제곱근을 유클리드 기하에서 구할 수 있는지에 대한 문제와 같은데, 19세기가 되어서야 겨우 위에서 다룬 체의 아이디어에 기초하여 작도할 수 없음을 알게 되었습니다. 

원래 수와 선분의 길이와 같이 유클리드 기하의 도형과 수 사이에는 밀접한 관계가 있었는데, 유클리드 원론의 공리는 이 점이 불명확하고, 실수라는 개념도 겉으로는 나타낼 수 없었습니다. 그러나 독일의 수학자 힐베르트가 유클리드 기하의 공리를 철저하게 연구함으로써, 유클리드 기하를 완전한 형태로 형식화하는 것은 실수란 무엇인가 혹은 어떤 필연성으로부터 나왔는가를 이해하는 것에 지나지 않음을 판명하였습니다. 

이 책에서는 위에서 기술한 것처럼, 수와 도형 혹은 그것과 관련된 방정식에 대해서 설명하고 있습니다. 이 책은 4개의 부분으로 나누어져 있습니다. 제1장은 복소수에 이르기까지 수가 발전해 온 대략적인 역사와, 가우스에 의한 대수학의 기본정리의 증명을 다루고 있습니다. 이 증명에는 연속함수의 성질을 약간 이용합니다만, 직감적으로 잘 아는 것이라고 생각합니다. 제2장은 군이나 환이라는 대수계에 대한 설명입니다. 

단, 너무 일반론에는 들어가지 않고 다항식이 가지는 성질에 초점을 맞추고 있습니다. 고등학교에서 배우는 다항식이나 방정식에서 약간 더 나아간 이론이므로, 구체적으로 생각하는 것이 가능할 것입니다. 여기서 필요한 것은 선형대수의 기초지식 정도입니다. 제3장은 갈루아에 의한 5차 이상의 대수방정식의 비가해성(해의 공식이 존재하지 않는다는 것)의 증명과 그것을 위한 준비입니다. 제4장과 제5장은 유클리드 기하에 관한 것입니다. 제4장에서 힐베르트에 의한 유클리드 기하의 공리계와 실수의 관련성에 대한 설명을 하고 있습니다. 마지막으로 제5장에서는 유클리드 기하의 작도문제와 종이접기에 의한 작도문제를 다룹니다. 이들을 이차 및 삼차방정식의 해와 결부시킴으로써, 예를 들어 어떤 정다각형이 작도가능한지를 알 수 있습니다.  

-머리말 중에서-

제1장 수와 방정식
1.1 일차방정식과 유리수 2
1.2 이차방정식과 무리수 13
1.3 복소수 23
1.4 삼차와 사차방정식 32
1.5 대수학의 기본정리 37
 

제2장 대수계
2.1 체 44
2.2 벡터공간 51
2.3 군 58
2.4 환과 다항식 84
2.5 다항식환에 관한 조금 깊은 결과 98
 

제3장 갈루아 이론
3.1 확대체 116
3.2 갈루아 이론 128
3.3 대칭식과 대칭군 139
3.4 원분체와 1의  제곱근 158
3.5 갈루아가 생각한 것 170
 

제4장 유클리드 기하와 체
4.1 유클리드 기하와 실수 180
4.2 힐베르트의 공리계 183
4.3 공리에서 실수로 218
4.4 공리의 독립성 235
 

제5장 작도와 방정식
5.1 작도 254
5.2 종이접기 267
5.3 그 외의 방법에 의한 각의 삼등분 279
 

찾아보기

지은이
니시다 고로(西田吾郞)
교토대학 명예교수 (이학박사)
교토대학 이학부, 대학원 이학연구과 교수, 부학장 역임
전공: 위상기하학
저서:《 호모토피군》(1985),《 선형대수학》(2009) 등


 

옮긴이
김부윤
부산대학교 사범대학 수학교육과 교수 (이학박사)
 

송영무
순천대학교 사범대학 수학교육과 교수 (이학박사)
 

정영우
울산대학교 객원교수 (교육학박사)

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