이 책의 내용은 벡터, 벡터함수의 미분과 적분, 스톡스 정리, 발산정리와 곡선좌표 그리고 수학, 물리학과 공학의 연구에서 매우 유용하게 응용되는 텐서해석을 포함하고 있다. 이 책에서는 기본개념을 체계적으로 설명하고 다양한 응용문제를 수록하여 문제해결 능력을 폭넓게 기르도록 함으로써, 학생들로 하여금 벡터해석의 효용성을 느끼고 문제해결에 대한 적응력을 향상시키도록 하는 데 주안점을 두었다. 더욱이 어느 정도 기초수학의 수준만 갖추어져도 이 책을 이해할 수 있도록 개념들을 쉽고 자세히 서술하려고 노력했다.

이 책은 오랜 강의 경험을 바탕으로, 참고문헌의 내용을 참조하여 한 학기에 이수해야할 부분을 체계적으로 담아내는 데 초점을 두었다. 특히 기본개념과 정리에 대한 이해를 돕고 벡터해석의 내용을 광범위한 영역에 걸쳐 활용하기 위하여 반드시 갖추어야 할 기본 기능을 익히도록 하였다. 간단하고 응용될 수 있는 정리는 명쾌하게 증명했고, 응용과는 다소 무관한 이론은 자세히 증명하였으나 생략해도 무방하도록 서술하였다. 증명의 일부분은 독자에게 맡겨 스스로 해결점을 찾도록 하고, 많은 예제를 이용하여 본문의 내용을 충분히 이해하고 활용할 수 있는 능력을 배양할 수 있도록 하였다. 다만 간단한 보기를 ‘예’로, 증명이나 풀이가 뒤따른 것은 ‘예제’로 구분하였다. 또한 장마다 연습문제를 두었고, 해답을 제시함으로써 학습 의욕을 고취하고, 학생들에게 친근감을 주려고 노력했다. 여기에 실린 문제들은 학생들이 충분히 생각하고 정리와 증명의 필요성을 인식하는 데 도움이 되도록 만들었다.

-머리말 중에서-

머리말 / iii

제1장 벡터와 벡터공간 1
1.1 직교좌표계 3
1.2 평면벡터와 공간벡터 4
1.3 벡터의 내적과 외적 14
1.4 벡터의 삼중적 25
1.5 직선과 평면의 방정식 28
1.6 벡터공간 35
1.7 Rn에서의 내적과 정규직교기저 41
연습문제/ 44

제2장 일변수 벡터함수의 미분 49
2.1 벡터함수 51
2.2 벡터함수의 도함수 51
2.3 곡선과 호의 길이 65
2.4 접선벡터, 곡률, 비틀림률 73
2.5 역학에서의 운동 88
연습문제/ 93

제3장 다변수 벡터함수의 미분 97
3.1 다변수함수 99
3.2 원주좌표와 구면좌표 101
3.3 다변수함수의 극한과 연속 104
3.4 다변수함수의 편미분과 전미분 108
3.5 다변수 벡터함수와 벡터장 119
3.6 미분형식과 곡선좌표 123
3.7 벡터장과 연산자 138
3.8 접평면과 법선 150
3.9 다변수함수의 테일러 정리 155
연습문제/ 160

제4장 선적분 165
4.1 벡터함수의 적분 167
4.2 이중적분 170
4.3 선적분 180
4.4 선적분과 경로의 독립성 194
4.5 평면에서의 그린 정리 206
연습문제/ 219

제5장 면적분 225
5.1 삼중적분 227
5.2 다중적분에서 변수의 변경과 야코비안 234
5.3 면적분 242
5.4 R3에서 벡터의 발산과 회전 256
5.5 스톡스 정리 258
5.6 가우스의 발산정리 265
연습문제/ 274

제6장 텐서해석 279
6.1 n차원 공간 281
6.2 텐서 282
연습문제/ 310

연습문제 해답 313

참고문헌 321
찾아보기 323

이병무

대구가톨릭대학교 자연과학대학 수학과 교수

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