이 책은 저자들이 오래동안 학부 3 · 4 학년 학생들을 대상으로 미분기하학을 강의한 경험을 책으로 옮긴 것입니다. 그동안 강의를 수강하는 학생들의 편의를 위해 일부 중요한 주제들에 대해서는 요약한 노트나 문제 모음을 만들어 수업에 사용하였는데 이 책은 이것들이 바탕이 되었습니다. 책으로 만드는 과정에서 처음에 의도하였던 바와는 완전히 다른 결과물을 얻게 되었는데 공부하는 학생들에게 도움이 되기를 바랍니다. 미분기하학은 기본적으로 미분적분학과 선형대수의 지식을 바탕으로 합니다. 증명을 강조하는 엄밀한 수학이 아닌 계산 위주의 학부 저학년 수준의 미분적분학과 선형대수 수업에서 배운 내용을 자기 것으로 만든 학생들이 별 어려움 없이 쉽게 이해할 수 있도록 쓰려고 노력하였습다. 학생들은 이 책을 공부하기 전에 미분적분학에서는 다변수 미분적분학의 스톡스 정리까지, 선형대수에서는 행렬의 대각화까지 이미 배워서 알고 있어야 합니다. 내용의 전개에 따라 필요한 다변수 미분적분학과 선형대수의 지식은 각자 사용하였던 교재를 찾아 복습하여 배울 당시에는 놓치고 지나쳤을 사실들을 공고히 하는 기회로 삼을 수도 있습니다. 이런의지나 선수 학습이 안된 학생은 특히 4장 이후의 내용을 이해하는데 어려움을 느낄 수도 있습니다. 저자들은 학부 3학년때 오닐이 쓴 책 [17]을 교재로 하여 미분기하학을 배웠습니다. 이 책은 매우 잘 씌어진 교재임에도 불구하고 기하학적인 내용을 배우기전에 계산 도구로 형식을 계산하는 방법을 마스터하는데 많은 시간을 투자해야하는 어려움이 있습니다. 이런 이유로 여러 번 강의하는 가운데 단 한 번만 이 책을 교재로 사용하였고 강의 효과도 기대에 미치지 못 하였습니다. 도까르모의 책 [8]은 미국에 유학하던 시절 처음 접하게 되었습니다. 당시 버클리에는 도까르모와 직접 관련 있는 교수들이 많아서인지 학부 수업 교재로 이 책을 사용하고 있었는데 오닐 책을 공부하듯이 처음부터 끝까지 이 잡듯이 공부하지는 않았지만 도까르모의 책이 실제로 문제를 해결해야 할 때 많은 아이디어와 기하학적 영감을 제공하였습니다. 기하학은 해석학이나 대수학과 달리 엄밀한 증명보다는 기하학적인 직관력이 많이 필요한 과목이고 당연히 수업에서도 학생들의 기하학적 직관을 계발해 주는 것을 목표로 하고 있습니다. 따라서 수업에서 거의 매해 도까르모의 책을 교재로 사용하였고 이런 현실적인 상황이 이 책에 많이 반영되었습니다. 보통 오닐의 책이 도까르모의 책보다 어렵다고 평가되고 있는데 저자들의 입장에서는 오히려 도까르모의 책이 특히 혼자 공부하기에는 더 어렵다고 생각됩니다. 따라서 저자들에게는 학부에서 이 책을 교재로 강의하기에는 만족스럽지 못한 부분이 많이있었고 어떻게 쉽게 설명해야할 지에 대해서 항상 고민하게 만들었는데 이 문제는 현재진행형입니다. 이 책을 쓸 준비를 하며 가장 고민하였던 것은 서구의 용어를 어떻게 우리말로 표현할 것인가였습니다. 수학 용어도 가능하면 순우리말로 표현하는 것이 가장  바람직하겠지만 이미 오랫동안 사용해 왔던 한자어 용어도 무시할 수 없었습니다. 현실을 고려하고 대한수학회의 수학용어집을 사용하되 가능하면 쉬운 용어를 사용하려고 노력하였습니다. 이 책은 TEX을 이용하여 조판되었습니다. -머리말 중에서-

제1장 공간 곡선과 국소적 이론 1

1.1 정칙곡선 . 2

1.1.1 매개곡선 . 2

1.1.2 정칙곡선 . 6

1.1.3 호의 길이 . 10

1.2 프레네 정리 . 18

1.2.1 프레네의 움직이는 틀 . 19

1.2.2 프레네 정리 . 23

1.3 국소적 곡선 이론 . 27

1.3.1 등장사상 . 27

1.3.2 국소적 곡선 이론의 기본정리 . 34

1.4 연습 문제 . 41

제2장 곡선의 곡률과 꼬임율 47

2.1 곡선의 국소적 표현 . 48

2.2 꼬임률의 기하학적 의미 . 50

2.3 직선 . 52

2.4 나선 . 53

2.4.1 원나선 . 53

2.4.2 기둥면 나선 . 55

2.5 신개선과 축폐선 . 60

2.6 접촉 . 64

2.6.1 곡선과 곡면의 접촉 . 64

2.6.2 곡선과 곡선의 접촉 . 67

2.7 연습 문제 . 74

제3장 평면곡선과 대역적 이론 79

3.1 부호가 붙은 곡률 . 79

3.2 곡률의 기하학적인 해석 . 83

3.3 회전지표 정리 . 86

3.4 등주 부등식 . 90

3.5 연습 문제 . 93

제4장 정칙곡면95

4.1 정칙곡면 . 96

4.1.1 정칙곡면의 정의 . 96

4.1.2 구면 . 99

4.1.3 회전면 . 106

4.1.4 몽주 조각 . 110

4.1.5 등위곡면 . 111

4.2 접평면과 제1기본형식 . 120

4.2.1 좌표변환 . 120

4.2.2 접평면 . 123

4.2.3 곡면에서 정의된 사상의 미분 . 126

4.2.4 제1기본형식 . 128

4.2.5 넓이 . 132

4.3 유향곡면 . 134

4.3.1 가향곡면 . 135

4.3.2 비가향곡면 . 138

4.4 연습 문제 . 140

제5장 곡면의 모양 145

5.1 가우스 사상과 모양작용소 . 146

5.1.1 가우스 사상 . 146

5.1.2 모양작용소 . 147

5.1.3 모양작용소의 계산 . 147

5.2 제2기본형식 . 150

5.2.1 자기수반사상과 2차형식 . 150

5.2.2 제2기본형식 . 154

5.3 법곡률 . 156

5.3.1 법곡률과 측지곡률 . 156

5.3.2 법곡률과 제2기본형식과의 관계 . 158

5.3.3 주곡률과 주방향 . 161

5.3.4 곡률선과 점근선 . 163

5.4 가우스 곡률과 평균곡률 . 165

5.4.1 가우스 곡률과 평균곡률 . 165

5.4.2 가우스 곡률의 기하학적 의미 . 171

5.4.3 가우스 곡률에 의한 점의 분류 . 174

5.5 연습 문제 . 179 

제6장 곡면 이론 185

6.1 등장사상 . 185

6.2 가우스 정리 . 189

6.3 보네 정리 . 197

6.4 연습 문제 . 201

제7장 측지선 203

7.1 공변미분 . 204

7.2 평행이동 . 207

7.3 측지선 . 212

7.4 연습 문제 . 221

제8장 가우스-보네 정리 223

8.1 가우스-보네 정리의 준비 . 224

8.1.1 측지좌표조각 . 224

8.1.2 각의 변화 . 227

8.1.3 위상수학으로부터의 준비 . 229

8.2 국소적 가우스-보네 정리 . 234

8.3 대역적 가우스-보네 정리 . 236

8.4 가우스-보네 정리의 응용 . 239

8.5 연습 문제 . 243

참고 문헌 245

찾아보기 247

원대연

덕성여자대학교 수학과 교수

서울대학교 자연과학대학 수학과 (학사, 석사)

University of California, Berkeley (Ph. D)

이난이

서울시립대학교 수학과 교수

서울대학교 자연과학대학 수학과 (학사, 석사)

University of California, Berkeley (Ph. D)

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