2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정 하에서 중학교 교과서가 출간되었고 올해5월이면 고등학교 교과서가 완성되는 것으로 알고 있다. 중학교 수학 교육과정의 내용을 볼 때, 현직 수학교사나 수학교육 전공학생들에게 가장 필요한 지식은 중학교 수학 관련 수학사이다. 근삿값, 진법의 삭제나 함수의 교수법 변화 또는 학년 군 등의 도입보다 필자가 수학사를 강조하는 것은 수학 교과서 내용이 기원전 수학을 기반으로 하고 있고 이에 대한 올바른 이해가 교수법의 질을 결정한다고 판단하기 때문이다. 

중학교 수학에서 매우 중요한 위치를 점하고 있는 이차방정식은 고대 바빌로니아 인들이 점토판에 기록한 기원전 2000년경 이론에 뿌리를 두고 있고 근삿값 이론이 그이론에서 파생되었다. 수학점토판의 내용에 대한 대부분의 내용은 1935년에 이르러서야 얻어진 것인데 이는 주로 Otto E. Neugebauer(1899-1990)와 F. Thureau-Dangin(1872-1944)의 놀랄 만한 발견의 덕택이다. 한편, 삼각비는 Plimpton 322로부터 피타고라스 자신,플라톤, 그리고 디오판토스로 계승, 발전하면서 프톨레마이오스(Ptolemy, 《Almagest》)의360개 현표로 이어진다. 현표로부터 삼차방정식(al-Kashi,   x3+q=px, 1429년)이 필요하게 되고 발전하게 된다.

고등학교 수학의 경우 《고급수학 Ⅰ, Ⅱ》의 도입으로 새로운 내용이 추가되었다. 《고급수학 Ⅱ》에 복소좌표평면이 도입되어 제6차교육과정에서 다룬 복소수 내용이 재도입되었고, 그리고 미적분의 공학적 활용이 강조되어 간단한 2계선형미분방정식 이론과 편미분이 새로 도입되었다. 《고급수학 Ⅰ》은 행렬과 교과서 《기하와 벡터》에서 다룬 내용을 심도 있게 다루고 있다. 이를 종합하면 《고급수학 Ⅰ, Ⅱ》는 제6차교육과정에서 다룬 복소수와 대학에서 말하는 선형대수학의 일부를 다루며 이공계나 경제, 경영학부에서 배우는 미분방정식, 편미분방정식, 복소해석, 벡터해석, 또는 행렬이론의 선수영역이다. 필자는 지난 13여 년간 지역 교육연수원에서 교사를 대상으로 강의한 대수학 원고를 모아 방정식, 피타고라스짝, 몫과 나머지, 그리고 선형대수 이론을 중심으로 하여 책으로 엮었다. 

본 교재는 대학에서 제공하는 대수학 영역(현대대수학, 정수론, 선형대수)과 중 ․고등학교 수학을 연결한 교수학습 자료이다. 집필하는 과정에서 최근 논문을 다수 참고하였고 중 ․ 고등학교에서 사용하는 수학이론의 뿌리와 출처를 가능한 자세히 밝혔다. 이 과정에서 많은 전공서적과 최근 논문을 소개하였는데 이를 장기적으로 참고하여 교재연구에 활용하기 바란다. 몇몇 정리 및 이론은 증명 없이 사용하였고 이에 대한 증명은 책에서 추천한 전문서적, 사이트, 그리고 논문을 참고하기 바란다. 중 ․ 고등학교에서 수학①,②, ③, 《고급수학 Ⅰ, Ⅱ》를 강의할 때, 본 교재를 필독하기를 기대한다. 

-머리말 중에서-

제1장 　방정식(Algebraic Equation)
1.1　Babylonian Algebra · 4
1.2　EXAMPLE · 5
1.3　REMARK · 5
1.4 EXAMPLE · 7
1.5　EXAMPLE · 9
1.6　고대 바빌로니안의 근삿값 · 9
1.7　REMARK · 10
1.8　Egyptian Algebra · 12
1.9　Greek Algebra · 14
1.10　REMARK · 16
1.11　REMARK · 19
1.12　REMARK · 20
1.13　EXERCISE · 21
1.14　Greek Algebra · 21
1.15　Arabic Algebra · 22
1.16　삼차방정식 · 25
1.17　삼차방정식 · 30
1.18　사차방정식 · 32
1.19　오차방정식 · 33
1.20　EXAMPLE · 36
1.21　REMARK · 38
1.22　Viete의 방법· 41
1.23　EXAMPLE · 45
1.24　REMARK · 46
1.25　체비세프 다항식 · 49
1.26　체비세프 다항식과 n차방정식 Tn(x)-X=0의 근의 개수 · 52
1.27　EXAMPLE · 53
1.28　페르마의 소정리 · 54
1.29　페르마의 소정리와 체비세프 다항식 · 54
1.30　Theorem · 55
1.31　EXAMPLE · 56
1.32　오일러의 방법 · 61
1.33　REMARK · 63
1.34　REMARK · 66

제2장 　소수(Prime Number)
2.1　PROJECT · 69
2.2　REMARK · 71
2.3　REMARK · 74
2.4　PROJECT · 75
2.5　IN YOUR OWN WORDS · 77
2.6　IN YOUR OWN WORDS · 78
2.7　IN YOUR OWN WORDS · 79
2.8　IN YOUR OWN WORDS · 81
2.9　EXAMPLE · 81
2.10　REMARK · 83
2.11　EXAMPLE · 84
2.12　EXAMPLE · 87
2.13　IN YOUR OWN WORDS · 88
2.14　REMARK · 89
2.15　EXAMPLE · 92
2.16　THE PROOF · 92
2.17　유클리드 증명의 확대해석 · 93
2.18　REMARK · 95
2.19　NEW PROOF OF EUCLID’S THEOREM · 96
2.20　THE PROOF · 96
2.21　REMARK · 97
2.22　EXERCISE · 98
2.23　THE PROOF · 99
2.24　THEOREM · 100
2.25　IN YOUR OWN WORDS · 100
2.26　COROLLARY · 102
2.27　THEOREM · 102
2.28　THEOREM · 103
2.29　THEOREM · 104
2.30　THEOREM · 105
2.31　IN YOUR OWN WORDSE · 107
2.32　THEOREM · 108
2.33　IN YOUR OWN WORDS · 109
2.34　DEFINITION · 111
2.35　QUESTION · 112
2.36　EXERCISE · 112
2.37　DEFINITION · 113
2.38　QUESTION ·114
2.39　DEFINITION ·115
2.40　THEOREM · 115
2.41　EXAMPLE · 116
2.42　DEFINITION · 117
2.43　EXAMPLE · 117
2.44　THEOREM · 117
2.45　THEOREM · 118
2.46　IN YOUR OWN WORDS · 119
2.47　IN YOUR OWN WORDS · 122
2.48　IN YOUR OWN WORDS · 123

제3장 　피타고라스짝(Pytagorean Triple)
3.1　삼각비와 피타고라스짝 · 127
3.2　REMARK · 130
3.3　프톨레마이오스의 현표 · 131
3.4　REMARK · 138
3.5　THEOREM · 142
3.6　THEOREM · 143
3.7　THEOREM · 145
3.8　EXAMPLE · 147
3.9　THEOREM · 148
3.10　REMARK · 149
3.11　거울피티고라스짝 · 149
3.12　THEOREM · 150
3.13　THEOREM · 151
3.14　THEOREM · 152
3.15　EXERCISE · 153
3.16　DEFINITION · 153
3.17　THEOREM · 154
3.18　THEOREM · 155
3.19　COROLLARY · 156
3.20　COROLLARY · 156
3.21　THEOREM · 156
3.22　REMARK · 157
3.23　REMARK · 157
3.24　THEOREM · 158
3.25　THEOREM · 159

제4장 　몫과 나머지(Euclidean Domain)
4.1　DEFINITION · 166
4.2　THEOREM · 166
4.3　THEOREM · 167
4.4　DEFINITION · 168
4.5　EXAMPLE · 168
4.6　EXAMPLE · 170
4.7　TEAM PROJECT · 171
4.8　THEOREM · 173
4.9　IN YOUR OWN WORDS · 174
4.10　REMARK · 175
4.11　SUMMING UP · 177
4.12　EXAMPLE · 177
4.13　IN YOUR OWN WORDS · 179
4.14　DEFINITION · 180
4.15　IN YOUR OWN WORDS · 181
4.16　 의 근삿값 · 182
4.17　EXERCISE · 185
4.18　PROJECT · 185
4.19　REMARK · 186
4.20　THEOREM · 188
4.21　PROJECT · 190
4.22　REMARK · 192
4.23　REMARK · 193
4.24　TEAM PROJECT · 193
4.25　REMARKE · 193
4.26　IN YOUR OWN WORDS · 194
4.27　REMARK · 195

제5장 　복소수체(Complex Field)
5.1　IN YOUR OWN WORDS · 199
5.2　EFFICIENCY 1. 함수 선택의 수월성 · 200
5.3　EFFICIENCY 2. 미적분의 수월성 · 202
5.4　EFFICIENCY 3. 삼각비의 수월성 · 203
5.5　EFFICIENCY 4. 행렬의 도입 · 208
5.6　CAUTION · 209
5.7　EXAMPLE · 211
5.8　DEFINITION · 212
5.9　REMARK · 213
5.10　REMARK · 214
5.11　REMARK · 215
5.12　TEAM PROJECT · 216
5.13　REMARK · 217
5.14　REMARK · 221
5.15　TEAM PROJECT · 222
5.16　TEAM PROJECT · 222
5.17　IN YOUR OWN WORDS · 223

제6장 　내적(Inner Product)
6.1　DEFINITION · 227
6.2　EXAMPLE · 227
6.3　EXAMPLE · 228
6.4　EXAMPLE · 228
6.5　EXERCISE · 228
6.6　EXAMPLE · 229
6.7　DEFINITION · 232
6.8　REMARK · 232
6.9　SUMMING UP · 234
6.10　EXAMPLE · 235
6.11　THE GRAM-SCHMIDT ORTHOGONALIZATION PROCESS · 237
6.12　EXAMPLE · 238
6.13　EXAMPLE · 239
6.14　EXAMPLE · 241
6.15　REMARK · 243
6.16　EXAMPLE · 247
6.17　REMARK · 250
6.18　TEAM PROJECT · 250
6.19　REMARK · 251

제7장 　행렬(Matrix)
7.1　DEFINITION · 255
7.2　REMARK · 255
7.3　DEFINITION · 257
7.4　EXAMPLE · 258
7.5　APPLICATION 1 · 258
7.6　DEFINITION · 260
7.7　EXAMPLE · 261
7.8　APPLICATION 2 · 261
7.9　APPLICATION 3 · 262
7.10　EXERCISE · 266
7.11　EXERCISE · 266
7.12　APPLICATION 4 · 266
7.13　APPLICATION 5 · 268
7.14　APPLICATION 6 · 268
7.15　REMARK · 273
7.16　APPLICATION 7 · 275
7.17　APPLICATION 8 · 278
7.18　DEFINITION · 280
7.19　EXAMPLE · 283
7.20　EXAMPLE · 286
7.21　EXAMPLE · 292
7.22　EXERCISE · 295
7.23　APPLICATION 9 · 295
7.24　APPLICATION 10 · 297
7.25　APPLICATION 11 · 300

부록 　
향후 10년간 무엇을 연구할 것인가? / 303
오일러 업적 / 304
전공서적 / 304

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