최근에 ‘점집합론 위상수학’이라 불리는 ‘일반위상수학’은 대학생뿐만 아니라 대학원생들의 수학의 기초로 필수부분이 되었다. 본 서는 위상수학의 정상 과정의 교재로 또는 다른 교재의 보조로 사용될 수 있도록 고안된 것이다. 또한 본 서는 위상수학에 대하여 포괄적이며 엄격한 개념을 알고자 하는 사람들에게는 근원서·참고서로 매우 가치가 있다고 여긴다.

각 장에는 정의, 예, 정리를 도해 등으로 해설한 다음에 숙달 정도의 등급순으로 연습문제와 보충문제를 설정하였다. 연습문제는 반복학습을 통하여 기본이론을 파악함과 동시에, 학생들이 지금까지 불완전한 기초를 가지고 있다는 느낌이 들지 않도록 미세한 점에 이르기까지 날카롭게 초점을 맞추고 교과적 학습에 필수불가결한 기본원리의 복습을 마련했다. 많은 정리의 증명은 연습문제에 포함되어 있다. 보충문제는 각 장의 내용을 완전복습이 되도록 여러 가지 자료가 제공되었다. 본 서의 전체에 걸친 주제는 위상적 기초성질, 거리공간과 노름공간, 분리공리, 콤팩트성, 적위상과 연결성에 관한 논제가 포함된다. 

증명된 정리는 Urysohn의 보조정리와 거리화정리, Tychonoff의 적정리와 Baire의 카테고리 정리가 포함되어 있다. 마지막 장에는 함수공간에 관한 점마다 수렴, 균등수렴과 콤팩트수렴의 위상을 연구하기로 한다. 그리고 처음의 3장은 집합론에서 필요로 하는 여러 개념을 제공하고, 4장은 직선과 평면의 위상을 취급하며 부록에는 실수의 기본성질이 설명되어 있다. 대부분의 입문 과정에서 다루는 내용보다 많은 자료가 본서에 포함되어 있다. 본서는 더욱 유연성 있는 저서이자 참고서로서 좀더 유용하도록 본 서 내용에 대해서 더욱 흥미를 갖도록 고안되었다. 

-머리말 중에서-

CHAPTER 01 집합과 관계
1.1 집합과 원소 · 2
1.2 부분집합과 포함집합 · 3
1.3 전체집합과 공집합 ·· 4
1.4 유·족과 공간 · 5
1.5 집합의 연산 · 6
1.6 적(곱)집합 · 8
1.7 관 계 · 9
1.8 동치관계 · 11
1.9 관계의 합성 · 13
연습문제 · 15
보충문제 · 24

CHAPTER 02 함 수
2.1 함 수 · 32
2.2 1대 1의 함수, 위로의 함수, 역함수와 항등함수 · 34
2.3 첨수된 집합과 데카르트 곱 ·35
2.4 일반화된 연산 · 36
2.5 관련된 집합함수 · 38
2.6 실수값 함수의 대수 · 40
연습문제 · 43
보충문제 · 52

CHAPTER 03 기수와 순서
3.1 동치집합 · 58
3.2 가부번집합과 가산집합 · 58
3.3 연속체 · 60
3.4 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 61
3.5 기수의 개념 · 61
3.6 칸토어의 정리와 연속체 가설 · 62
3.7 부분순서집합 · 63
3.8 순서집합의 부분집합 · 64
3.9 최소원소와 최대원소 · 65
3.10 극대원소와 극소원소 · 66
3.11 상계와 하계 · 66
3.12 소른의 보조정리 · 67
연습문제 · 69
보충문제 · 80

CHAPTER 04 직선과 평면의 위상
4.1 실직선 · 86
4.2 R의 열린집합 · 86
4.3 집적점(쌓인점) · 88
4.4 볼차노-바이어슈트라스 정리 · 89
4.5 닫힌집합 · 89
4.6 하이네-보렐 정리 · 90
4.7 점 렬 · 91
4.8 수렴열 · 92
4.9 부분열 · 94
4.10 코시열 · 95
4.11 완비성 · 96
4.12 연속함수 · 96
4.13 평면의 위상 · 99
연습문제 · 102
보충문제 · 118

CHAPTER 05 위상공간의 정의
5.1 위상공간 · 124
5.2 집적점 · 126
5.3 닫힌집합 · 127
5.4 집합의 폐포 · 128
5.5 내부·외부·경계 · 131
5.6 근방과 근방계 · 133
5.7 수렴열 · 134
5.8 거친 위상과 섬세한 위상 · 135
5.9 부분공간, 상대위상 · 135
5.10 위상의 동치 정의 · 136
연습문제 · 138
보충문제 · 156

CHAPTER 06 기저와 부분기저
6.1 위상의 기저 · 164
6.2 부분기저 · 166
6.3 집합족에서 생성된 위상 · 167
6.4 국소기저 · 168
연습문제 · 170
보충문제 · 177

CHAPTER 07 연속성과 위상동형
7.1 연속함수 · 182
7.2 연속함수와 임의밀착성 · 184
7.3 점에서 연속 · 185
7.4 점렬연속 · 185
7.5 열린사상과 닫힌사상 · 186
7.6 위상동형공간 · 187
7.7 위상적 성질 · 188
7.8 사상에 의한 유도위상 · 189
연습문제 · 191
보충문제 · 202

CHAPTER 08 거리공간과 노름 공간
8.1 거 리 · 206
8.2 집합간의 거리·지름 · 208
8.3 열린 구 · 209
8.4 거리위상·거리공간 · 211
8.5 거리위상의 성질 · 212
8.6 동치거리 · 214
8.7 거리화 문제 · 215
8.8 거리동형공간 · 216
8.9 m차원 유클리드 공간 · 217
8.10 힐베르트 공간 · 217
8.11 거리공간에 있어서 수렴과 연속 · 219
8.12 노름 공간 · 220
연습문제 · 223
보충문제 · 236

CHAPTER 09 가산성
9.1 제1가산공간 · 244
9.2 제2가산공간 · 245
9.3 린델뢰프의 정리 · 246
9.4 분리가능공간 · 246
9.5 유전적 성질 · 248
연습문제 · 249
보충문제 · 255

CHAPTER 10 분리공리
10.1 T1-공간 · 260
10.2 하우스도르프 공간 · 261
10.3 정칙공간 · 263
10.4 정규공간 · 264
10.5 우리손의 보조정리와 거리화 문제 · 265
10.6 점을 분리하는 함수 · 266
10.7 완전정칙공간 · 267
연습문제 · 268
보충문제 · 278

CHAPTER 11 콤팩트성(Compactness)
11.1 피 복 · 282
11.2 콤팩트 집합 · 283
11.3 콤팩트 공간의 부분집합 · 285
11.4 유한교차성 · 286
11.5 콤팩트성과 하우스도르프 공간 · 287
11.6 점렬콤팩트 집합 · 288
11.7 가산콤팩트 집합 · 289
11.8 국소콤팩트 공간 · 290
11.9 콤팩트화 · 291
11.10 거리공간에 있어서 콤팩트성 · 293
11.11 완전유계집합 · 294
11.12 피복의 르베그수 · 296
연습문제 · 297
보충문제 · 308

CHAPTER 12 적공간
12.1 적위상 · 312
12.2 유한적 위상의 기저 · 313
12.3 적위상의 정의부분기저와 정의기저 · 314
12.4 적공간의 예 · 316
12.5 치호노프(Tychonoff)의 적정리 · 318
12.6 거리공간의 적공간 · 318
12.7 칸토어집합 · 319
12.8 칸토어집합의 성질 · 320
연습문제 · 322
보충문제 · 329

CHAPTER 13 연결성
13.1 분리된 집합 · 336
13.2 연결집합 · 337
13.3 연결공간 · 338
13.4 실직선상의 연결성 · 340
13.5 연결성분 · 342
13.6 국소연결공간 · 342
13.7 경로 · 343
13.8 호로 연결된 집합 · 344
13.9 호모토픽(연속변형인:homotopic)한 경로 · 345
13.10 단순연결공간 · 348
연습문제 · 349
보충문제 · 359

CHAPTER 14 완비거리공간
14.1 코시(Cauchy)열 · 362
14.2 완비거리공간 · 364
14.3 축소닫힌집합열의 원리 · 365
14.4 완비성과 축소사상 · 365
14.5 완비화 · 366
14.6 베르(Baire)의 카테고리(category)정리 · 368
14.7 완비성과 콤팩트성 · 369
14.8 실수의 구성 · 370
연습문제 · 371
보충문제 · 382

CHAPTER 15 함수공간
15.1 함수공간 · 384
15.2 점 열린위상 · 385
15.3 점마다 수렴 · 387
15.4 균등수렴 · 388
15.5 함수공간 C [0, 1] · 390
15.6 균등유계성 · 390
15.7 동등연속성과 아스콜리(Ascoli)정리 · 392
15.8 콤팩트 열린위상 · 392
15.9 콤팩트 수렴위상 · 393
15.10 노름공간상의 범함수 · 394
연습문제 · 397
보충문제 · 411

부록 실수의 성질
A.1 체의 공리 · 416
A.2 실직선 · 417
A.3 R의 부분집합 · 417
A.4 양 수 · 418
A.5 순 서 · 419
A.6 절대값 · 420
A.7 최소상계공리 ·421
A.8 축소구간열의 성질 · 422
연습문제 · 424
보충문제 · 430

기호 찾아보기 · 433
찾아보기 · 434

지은이

Lipschutz 

옮긴이

이장우

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