초급 대학수학 교재로 고등학교 수학과 대학수학 1학년 교육과정의 내용이 이어지도록 구성했다. 현재 고등학교 수학과 교육과정은 여러 차례의 개정으로 대학수학과의 간극이 심화되고 있다. 일례로 삼각함수 공식은 고등학교 수학과 교육과정에서 일부만 다루기 때문에 학생들이 대학수학을 포함한 기초 과학과 공학이론을 학습하기 위해서 추가적인 교육이 절대적으로 필요하다. 이와 같은 추가적인 교육을 해당 전공과목에서 개별적으로 감당하는 것은 강좌운영의 부담을 크게 만든다. 결과적으로 해당 교과에 이어지는 발전 교과들의 파행적 운영으로 이어져 대학교육이 지향하는 인재의 전문성에 대해 질적 저하를 초래할 것이다.

이러한 문제점을 개선하기 위해, 이 교재는 첫째, 앞에서 언급한 것처럼 고등학교 수학과 교육과정의 내용과 대학수학 1학년 과정의 간극이 채워지는 수학 내용을 제공한다. 최근 고등학교 수학과 교육과정에서는 다루지 않거나 소극적으로 다루는 내용을 포함하여 ‘수학 내용적인 측면에서의 보완뿐 아니라 다양한 문제 해결 방법의 학습’을 제시하였다. 둘째, 엄밀성을 기반으로 하는 대학수학의 전공과정 학습을 선행적으로 경험할 수 있도록 ‘수학적 논증 학습을 위한 내용’을 다루었다. 고등학교 수학과 교육과정에서 증명 과정 없이 다루어지는 여러 증명을 다루었으며, 엄밀한 증명 과정이 필요한 대학수학의 고급과정에 속한 내용들에 대해서는 고등학교 구학과 교육과정을 기반으로 기술할 수 있는 방법들을 채택하였다.

또한, 대학수학 내용으로 구성된 부분의 내용들도 소개하였는데, 향후 고급과정의 수학 학습에서 긴요하고도 자주 활용할 수 있는 내용들을 위주로 최대한 엄밀한 논증 방식을 유지하였다. 이론에 대한 다양한 예시, 예제, 정의 등을 찾아보기 쉽도록 ‘정리 찾아보기’ 페이지를 구성하였다.

이화여자대학교 수학과 4단계 BK 교육연구사업의 일환으로 기획 및 저술되었다.

머리말 / iii

PART I

제1장 수열과 급수

제1절 수열 / 4

 수열과 귀납법 / 4

 수열의 극한 / 8

제2절 급수 / 13

 유한급수 / 13

 무한급수의 수렴과 발산 / 15

제2장 함수

제1절 함수의 연산 / 22

 함수의 정의 / 22

 함수의 연산 / 25

 대수함수 / 29

제2절 초월함수 / 35

 초월함수의 정의와 예 / 35

 삼각함수의 법칙들 / 42

 쌍곡선 함수의 법칙들 / 49

제3절 최대·최소 문제 / 53

 최대·최소 문제 53

제3장 미분

제1절 함수의 극한과 연속 / 58

 함수의 극한 / 58

 함수의 연속 / 66

제2절 미분계수와 도함수 / 73

 미분의 정의 / 73

 미분의 계산 / 76

제3절 미분의 활용 / 97

 접선의 방정식 / 97

 최대·최소 문제 / 102

 미분과 그래프 / 106

 이계미분 / 109

 도함수의 활용 / 114

제4장 적분

제1절 부정적분과 정적분 / 120

 부정적분 / 120

 정적분 / 124

 미적분학의 기본정리 / 129

제2절 적분법 / 132

 적분법 / 132

제3절 적분의 활용 / 141

 기하학적 활용 / 141

 정적분의 수렴성과 급수의 수렴성 / 148

PART II

제5장 복소수

제1절 복소수의 연산 / 160

 허수와 복소수 / 160

 복소수의 덧셈과 곱셈 / 160

제2절 켤레복소수와 절댓값 / 162

제3절 복소수의 극형식 / 164

 n제곱근 / 166

 복소수의 지수함수표현 / 167

제4절 극좌표 / 170

 극좌표계 / 170

 극방정식과 그래프 / 172

제6장 부등식

제1절 절대부등식 / 180

 거듭제곱, 제곱근의 부등식 / 180

 삼각 부등식 / 180

 완전제곱꼴의 부등식 / 181

 산술-기하-조화평균 부등식 / 182

 코시-슈바르츠 부등식 / 184

 부등식과 최대, 최소 / 187

제2절 부등식의 영역 / 188

 방정식과 부등식의 영역 / 188

 최대, 최소 / 192

제7장 벡터

제1절 좌표공간과 벡터 / 196

 좌표평면과 좌표공간 / 196

 벡터 / 197

제2절 벡터의 내적 / 199

 내적의 정의와 성질 / 199

제3절 도형의 방정식 / 205

 직선의 방정식 / 205

 초평면의 방정식 / 207

 구의 방정식 / 211

제4절 2차곡선 / 213

 2차곡선 / 213

 접선의 방정식 / 216

 자취와 영역 / 219

제8장 행렬

제1절 행렬의 연산 / 224

제2절 행렬식과 가역행렬 / 226

제3절 선형변환과 도형 / 239

PART III

제9장 명제와 집합

제1절 명제 / 252

 명제의 정의 / 252

 명제의 기본연산 / 253

 함의, 동치, 명제 연산의 법칙 / 255

 모순명제 / 257

 한정 / 257

 추론과 검증 / 259

제2절 집합 / 261

 집합의 정의 / 261

 집합의 기본연산 / 264

 모임의 개념 / 268

 러셀의 역설 / 270

제3절 함수 / 272

 두 집합의 곱집합 / 272

 관계와 분할 / 272

 함수의 정의 / 276

 함수의 합성 / 280

제4절 집합의 크기 / 284

 무한집합, 가산집합 / 284

 기수 / 293

 기수의 합과 곱 / 295

제10장 명제와 집합

제1절 명제 / 252

 약수와 배수 / 302

 동치류와 동치류의 계산 / 304

제2절 소수와 최대공약수 / 308

 소수 / 308

 최대공약수 / 310

제3절 정수 부정방정식 / 313

 1차 정수 부정방정식 / 313

 2차 정수 부정방정식 / 315

 오일러 공식과 정다면체 / 317

제11장 방정식과 부등식

제1절 여러 가지 방정식 / 322

 체 구조와 인수분해 / 322

 체의 확장 / 323

 고차 방정식 / 325

 상반방정식 / 325

 대칭을 이용한 인수분해 / 327

 3차 방정식의 해법 / 329

 분수 방정식 / 332

 무리 방정식 / 333

제2절 여러 가지 부등식 / 336

 순서변환 / 336

 순서변환 부등식 I / 336

 순서변환 부등식 II / 338

연습문제 힌트 / 341

찾아보기 / 351

정리 찾아보기 / 357

김현규

예일대학교(Yale University) 수학과 졸업(이학박사)

전) 고등과학원(KIAS) 연구원 및 조교수

전) 이화여자대학교 자연과학대학 수학과 부교수

현) 고등과학원(KIAS) KIAS Fellow(부교수)

이용하

서울대학교 자연과학대학 수학과 졸업(이학박사)

전) 고등과학원(KIAS) 연구원

현) 이화여자대학교 사범대학 수학교육과 교수

이재혁

미네소타대학교(University of Minnesota) 수학과 졸업(이학박사)

전) 워싱턴대학교-세인트루이스(Washington University in St. Louis) 수학과 윌리엄 쇼베네 연구원 및 방문교수

현) 이화여자대학교 자연과학대학 수학과 교수

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