이 책은 총 다섯 개의 장으로 구성된다.

제1장에서 명제와 집합을 다룬다. 명제와 그 연산을 통하여 논리 이론을 정리하고 집합과 그 연산을 정리한다. 명제 중에서 전칭명제와 존재명제인 한정명제는 집합에서 정의되며 매우 중요한 역할을 한다.

제2장에서 관계와 함수에 대하여 다룬다. 관계는 두 집합의 곱집합의 부분집합으로 정의된다. 함수는 관계 중에서 특정한 성질이 성립하는 것으로 정의된다. 자기관계 중에서 중요한 개념인 동치관계와 순서관계에 대하여 탐구한다.

제3장에서 공리론적 방법으로 집합을 구성하는 방법을 다룬다. 공리론적 방법으로 공집합의 존재성을 확인할 수 있으며, 공집합을 이용하여 자연수를 정의한다. 선택공리와 이와 논리적으로 동등한 정리들도 탐구한다.

제4장에서 무한집합에 대하여 다룬다. 일대일 대응을 이용하여 두 집합의 대등을 정의하고 무한집합의 성질을 탐구한다. 특히 번호 붙일 수 있는 집합과 셀 수 있는 집합을 탐구한다.

제5장에서 집합의 기수와 순서수를 다룬다. 물건의 개수 셈함을 확장하는 것으로 기수와 그 연산을 탐구한다. 또한 원소의 순서 있는 나열을 확장하는 것으로 정렬집합의 순서수를 정의하고 그 연산을 탐구한다.

제1장 명제와 집합

1.1명제와 집합의 정의

1.2 조건

1.3 합성명제와 집합

1.4 부분집합과 조건문

1.5 논리식

1.6 증명

1.7 집합의 기본적인 성질

1.8 집합족

제2장 관계와 함수

2.1 순서쌍과 곱집합

2.2 관계

2.3 자기관계

2.4 분할과 동치관계

2.5 함수

2.6 함수의 합성

2.7 함수에 대한 집합의 상과 역상

제3장 공리론적 집합 구성

3.1 집단 구성

3.2 집합의 구성

3.3 모든 자연수의 집합

3.4 선택공리

제4장 무한집합 151

4.1 집합의 대등

4.2 번호 붙일 수 있는 집합

4.3 셀 수 있는 집합

제5장 기수와 순서수

5.1 기수와 연산

5.2 기수의 순서관계

5.3 순서수와 연산

이선홍

포항공과대학교 수학과 (이학사)

포항공과대학교 대학원 수학과 (이학석사, 이학박사)

현재 경상국립대학교 자연과학대학 수학과 교수

수학의 기본요소는 논리와 집합과 함수라고 할 수 있다. 현재 남아있는 가장 오래된 수학책인 유클리드의 “원론”에서부터 논리는 수학을 탐구하는 기본적인 법칙이다. 특히 공리론적 방법으로 수학을 탐구하는 방법은 다른 학문의 탐구에서도 매우 효과적인 방법일 것이다.

논리가 수학의 시초부터 같이 출발된 반면에, 18세기가 되어서야 가우스가 함수를 명확히 정의하고, 19세기 말이 되어서야 칸토어가 집합을 정의한다. 이를 바탕으로 20세기 초에 집합에 대한 공리론적 방법의 접근으로 수학의 기초적인 구성이 완성된다.

집합론은 수학의 기초를 제공한다. 수는 수학의 주 탐구대상이다. 가장 기본적인 수는 자연수이고, 자연수를 이용하여 정수를 정의할 수 있고, 정수를 이용하여 유리수를 정의할 수 있고, 마지막으로 실수와 복소수를 정의할 수 있다. 실수는 1차원 유클리드 공간인 수직선의 점으로 이해할 수 있으며, 다차원 유클리드 공간은 수직선의 다중 곱집합으로 이해할 수 있다. 공리론적 방법과 집합을 이용하여 자연수를 귀납적으로 정의할 수 있다. 다시 말하면 집합을 이용하여 수와 공간을 정의할 수 있다.

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