한 시대를 살아가는 사람들은 그 당시의 상황에서 이해되는 공통의 관념을 가지고 있다. 그리고 그런 관념은 마치 거대한 바위와 같이 굳건하기 때문에 거센 폭풍우에도 쉽게 쓰러지지 않는다. 거대한 바위를 깨는 것은 오히려 아무 힘없어 보이는 한 방울의 물이다. 끊임없이 같은 곳에 떨어지는 물방울은 거대한 바위에 조그만 물구멍을 남기고, 이 물구멍은 세월이 흐를수록 점점 커져 마침내 바위를 쪼갠다. 서구세계에서 굳건하고 거대한 바위와 같았던 유클리드 기하학에도 이와 같은 일이 일어났다. 유클리드가 《원론》에 제시했던 다섯 개의 공리와 다섯 개의 공준은 2000년 이상 수학을 지키는 초석이었다. 이 공리와 공준으로 완성된 수학은 절대적인 권위를 가졌기 때문에 사람들은 또 다른 수학을 생각할 수 없었다. 그러나 수학자들은 유클리드가 참이라고 생각했던 평행선공준이 과연 참인지 바위에 물방울이 떨어지듯이 끊임없이 의심해 왔다. 그 결과 평행선공준이 참이 아니어도 성립하는 새로운 수학이 있다는 것을 알게 되었다. 수학의 역사에서 비유클리드 기하학의 등장은 혁명적인 사건이었다. 유클리드 기하학은 서구사회에서 추구했던 지식의 모형이었기 때문에 비유클리드 기하학의 출현은 그런 지식 전체에 대한 혼돈이고 도전이었다. 이를테면 유클리드 기하학을 모델로 스피노자는 《윤리학》을 썼고, 홉스는 “인간은 기쁨은 극대화하고 고통은 극소화하려는 행동을 선택한다.”고 사회를 단순하게 이해했으며, 아담 스미스는 《국부론》을 완성했다. 또한 서양철학의 역사를 통틀어 가장 위대한 철학자로 여겨지는 칸트는 유클리드 기하학적 모형으로 자신의 철학을 펼쳤다. 지구상에 존재하는 유일한 기하학으로 여겨졌던 유클리드 기하학에 대안적인 기하학이 존재한다는 것은 수학자뿐만 아니라 일반인에게도 큰 충격이었다. 자신이 아무리 직선을 그려도 그것은 직선이 아닌 곡선이라는 것은 지식과 관념에 대한 근본적인 의심을 품게 했다. 유클리드 기하학이 아닌 기하학이 하나둘 발표되고 약 60년이 지나서 아인슈타인은 ‘공리를 의심하여’ 우주가 평평하지 않고 중력에 의하여 휘어져 있음을 보였고, 비유클리드 기하학을 기초로 일반상대 성이론을 얻게 되었다. 주어진 직선과 평행하며 주어진 점을 지나는 직선은 하나뿐이라는 평행선공준은 얼핏 생각하면 옳은 것 같다. 그러나 이런 생각은 오늘날 과거에 비하여 고급수학을 배우고 있는 우리마저도 유클리드 기하학적 사고방식에 익숙해져 있기 때문이다. 비유클리드 기하학은 기존의 틀을 깨고 새로운 세계로 생각의 영역을 넓힐 수 있게 해준다. 이것이야말로 현대를 살아가는 우리가 가져야 할 발상의 전환의 기초가 된다. 사실 수학은 관념을 깨고 생각에 날개를 달 수 있게 해주는 분야이다. 따라서 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 비교하며 이해할 수 있다면 더 쉽게 더 행복하게, 또 즐기면서 수학을 공부할 수 있을 것이다. 가장 위대한 수학은 생각을 단순화하는 것이고, 생각의 단순화는 ‘사고(思考)의 자유’로부터 시작된다. 초기 발생부터 현대에 이르기까지 기하학의 자세한 내용을 모두 소개하지는 못했지만 세계사 속에서 기하학이 어떻게 변해왔는지를 이해하기 쉽도록 설명하려고 노력하였다. 독자들은 이 책을 통하여 유클리드 기하학이 유클리드를 벗어 나는 과정을 이해함으로써 수학을 바라보는 눈과 생각의 날개가 점점 커짐을 느끼게 될 것이다.

-프롤로그 중에서-

고대 기하학의 시작 _8 (기원전 3000년경 ~ 기원전 1800년경)

고대 기하학의 결정체 _13 (기원전 1800년경 ~ 기원전 600년경)

논증 수학의 시작 _20 (기원전 600년경 ~ 기원전 500년경) 

세상에서 가장 아름다운 정리 _27 (기원전 550년경 ~ 기원전 450년경)

수학자들의 성서 _41 (기원전 400년 ~ 기원전 250년)

동양 기하학의 시초 _50 (기원전 5세기경) 

인류 최초의 위대한 수학자 _61 (기원전 300년 ~ 기원전 200년) 

그리스 수학의 황금시대 _75 (기원전 250년 ~ 기원후 300년경) 

중세 유럽의 암흑기 _83 (300년경 ~ 1000년경) 

아라비아의 기하학 _92 (600년경 ~ 1200년경) 

근대 르네상스의 기하학 _103 (1200년경 ~ 1500년경) 

유클리드 기하학을 넘어 _112 (1450년경 ~ 1650년경)

움직이는 물체 분석하기 _122 (1650년경 ~ 1750년경) 

비유클리드 기하학 1 _131 (1700년경 ~ 1800년경)

비유클리드 기하학 2 _140 (1800년경 ~ 1900년경) 

현대 비유클리드 기하학 3 _149 (20세기) 

3차원 기하학을 넘어 _156 (20세기) 

기하학을 넘어 _171 (20 ~ 21세기)

이광연

성균관대학교 수학과를 졸업한 뒤 같은 학교 대학원에서 박사학위를 받았다. 미국 와이오밍 주립대학교에서 박사후 과정을 마친 후 아이오와 대학교에서 방문교수를 지냈다. 지금은 한서대학교 수학교수로 있다.

수학을 싫어하는 청소년을 위해 《웃기는 수학이지 뭐야》, 《밥상에 오른 수학》, 《신화 속 수학 이야기》, 《수학자들의 전쟁》,《 어린이를 위한 수학의 역사 1~5》,《 이광연의 수학블로그》, 《멋진 세상을 만든 수학》, 《비하인드수학파일》,《 시네마 수학》,《 수학으로 다시 보는 삼국지》 등 많은 책을 집필했으며, 그 밖에 강연 등을 통해 ‘쉬운 수학, 재미있는 수학, 꼭 알아야 할 수학’을 알리는 데 주력하고 있다.

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