이 책은 대수학에 관한 이론내용과 그와 관련된 예제, 그리고 응용문제들을 종합적으로 문제 형식으로 전개하고 그에 대한 해답을 제시하였다. 이렇게 서술한 것은 수학을 전공하는 학생 또는 임용고사를 준비하는 학생들이 짧은 기간 동안에 문제해결력을 통하여 자기 주도적으로 이론내용을 쉽게 터득할 수 있도록 하기 위한 것이다. 수학은 집합과 관계로 이루어져 있다고 해도 과언이 아니다. 관계에는 여러 가지가 있지만, 그 중에서 동치관계와 함수관계가 매우 중요하다. 이러한 관계를 통해서 새로운 세계를 건설하는 것이다. 연산은 함수관계의 일종이다. 대수학은 집합 위에 여러 가지 연산을 주어 그 집합의 성질이 무엇인지 조사하고, 그러한 집합들 사이의 관련성을 연구하는 학문이다. 이때 항등원과 역원의 개념이 매우 중요하다. 집합 위에 연산을 줄 때 그 연산은 최소한도 결합법칙이 만족하도록 준다. 이때 다음과 같은 의문점이 생긴다.
(1) 항등원이 존재할까?
(2) 만일 항등원이 존재한다면, 역원이 존재할까?
(3) 주어진 연산은 교환법칙을 만족할까?
(4) 연산이 주어진 두 집합 사이의 함수는 연산을 보존할까?
이 책에서는 이러한 의문점을 통해서 다음과 같은 물음에 대한 것을 다루었다.
(1) 집합 위에 하나 또는 두 개의 연산을 주어 그 집합이 군(group), 환(ring) 또는 체(field)가 되는가?
(i) 군(환, 체)에는 어떠한 것들이 있을까? 군(환, 체)의 부분군(환, 체)들은 무엇일까?
(ii) 주어진 군(환)으로부터 새로운 군(환)은 어떻게 만들까?
(iii) 어떤 환으로부터 새로운 체는 어떻게 만들까?
(2) (1)에서와 같은 구조를 갖는 집합들 사이의 함수는 연산을 보존하는가?
(3) 연산을 보존하는 함수는 어떤 성질을 가질까?
(4) 유리수체 ℚ는 실수체 ℝ의 부분체이다. 이와 같이 주어진 체를 포함하는 확대체는 무엇일까?
(5) 실수는 눈금없는 자와 컴퍼스만 가지고 작도할 수 있을까? 이것은 유리수체 ℚ의 확대체와 어떤 관련이 있을까?
(6) 다항식의 모든 영점들을 포함하는 분해체는 무엇일까?
(7) 고교수학에서 이차방정식의 근은 근의 공식을 통해서 얻을 수 있다는 것을 이미 알고 있다. 이와 같이 몇 차방정식까지 근호를 사용하여 근을 대수적으로 얻을 수 있을까?
수학을 전공하는 데에는 습득해야 할 이론내용들이 방대하다. 그러므로 기본적인 수학내용은 짧은 기간 동안에 이해하고, 이를 기반으로 하여 고등수학의 문제해결력을 향상시킬 필요성이 있다. 그런데 학생들이 이론내용을 완전히 이해하기란 어려운 실정이다. 따라서 이러한 어려움을 돕기 위하여 이 책을 출판하게 되었다.
-머리말 중에서
