이 책은 저자가 건국대학교 수학과 2학년의 다변수 함수론의 두 번째 학기를 위하여 만들었던 강의록을 정리한 것이다.

이 책은 다변수 미적분학의 기본적인 지식을 지니고 있다고 가정하고 있다.

미분형식이 무엇인지를 이해하기 위해서는 선수 지식이 아주 필요하다. 그래서 선수 지식을 많이 줄이면서 미분형식이 무엇인지를 알려 주려고 노력하였는데 이 책이 그 노력의 결과이다.

어떤 수학을 가르치는 것이 좋은가?

어떤 내용을 가르쳐야 하는 건가?

지금과 같은 시대에 어떤 수학을 가르치는 것이 나은가?

수학의 특정한 분야의 지식을 깊이 알려주는 것보다는 수학을 사용할 수 있을 정도의 깊이로 가능하면 많은 수학적 지식을 지니고 사용할 수 있도록 알려주는 것이 더 나을 것이며, 이 책이 이러한 관점에서라도 조금이나마 보탬이 되기를 바란다.

이 책이 이해하기 쉬운 책이 되기를 바라고, 더불어서 숲에 있는 나무 하나하나를 자세히 볼 수 있게 하지 못하더라도 숲의 모습은 볼 수 있기를 바란다.

차 례

제 1 장 벡터장

1.1 벡터와 벡터장

1.1.1 벡터

1.1.2 접벡터와 접벡터공간

1.1.3 벡터장

1.2 벡터장의 적분곡선

1.3 기울기벡터장과 잠재함수

1.4 벡터장 들의 연산

1.5 R3 의 벡터장

1.5.1 요상한 방법

1.5.2 Curl, 회전벡터장

1.6 연쇄법칙

1.7 방향도함수

1.8 미분사상

1.8.1 함수의 미분사상

1.8.2 사상의 미분사상

1.8.3 매개곡선의 미분사상

1.8.4 Jacobi 행렬

1.9 벡터장을 밀어내기

제 2 장 곡선과 곡면

2.1 매개곡선

2.1.1 매개곡선

2.1.2 매개곡선의 재매개화

2.1.3 매개곡선의 속도벡터장

2.2 매개곡면

2.2.1 매개곡면

2.2.2 접평면

2.2.3 매개곡면과 지도

2.2.4 매개곡면의 재매개화

2.2.5 음함수정리

2.3 방향

2.3.1 적분과 방향

2.3.2 평면에서의 방향

2.3.3 곡면에서의 방향

2.3.4 매개곡면에서의 방향

2.3.5 사이좋은 방향

2.3.6 방향이 정의되지 않는 곡면

제 3 장 평면에서의 벡터장의 적분

3.1 선적분

3.2 기울기벡터장의 선적분과 잠재함수

3.3 Green 정리

제 4 장 공간에서의 벡터장의 적분

4.1 선적분

4.2 면적분

4.3 Stokes 정리

4.4 발산정리

4.5 함수의 적분

4.5.1 곡선에서의 함수의 선적분

4.5.2 벡터장의 선적분과 함수의 선적분

4.5.3 곡면에서의 함수의 면적분

4.5.4 벡터장의 면적분과 함수의 면적분

제 5 장 함수의 전미분

5.1 함수의 전미분

5.2 합성함수의 전미분

5.2.1 함수를 끌어오기

5.2.2 끌어온 함수의 전미분

제 6 장 1계미분형식과 선적분

6.1 1계미분형식

6.2 d 작용소

6.3 전미분과 1-형식

6.3.1 R2 의 완전1-형식

6.3.2 R3 의 완전1-형식

6.3.3 직교곡선모임

6.4 끌어오기

6.4.1 1-형식을 끌어오기

6.4.2 끌어오기와 d

6.5 1-형식의 적분

6.5.1 선적분

6.5.2 전미분의 선적분

6.5.3 선적분과 방향

6.5.4 매개곡선에서의 선적분과 방향을 지닌 곡선에서의 선적분

제 7 장 평면의 2계미분형식

7.1 쐐기곱

7.2 2계미분형식

7.3 d 작용소

7.4 R2 의 2-형식의 적분과 이중적분

7.4.1 R2 의 2-형식의 적분

7.4.2 Green 정리

7.5 완전2-형식

7.6 xy 평면의 2-형식을 끌어오기

7.6.1 끌어오기

7.6.2 치환적분 복습

7.6.3 치환적분과 2-형식의 끌어오기

제 8 장 공간의 2계미분형식

8.1 R3 의 2-형식

8.2 끌어오기

8.3 R3 의 2-형식의 적분

8.4 Stokes 정리

8.4.1 끌어오기와 d

8.4.2 Stokes 정리

8.5 완전2-형식

8.6 방향을 지닌 곡면에서의 2-형식의 적분

제 9 장 R3 의 3계미분형식

9.1 3계미분형식

9.2 3-형식의 적분과 삼중적분

9.3 발산정리

9.4 치환적분 복습

제 10 장 공간의 미분형식과 벡터장, 미적분학의 기본정리

10.1 벡터장과 1-형식

10.1.1 1-형식의 선적분과 벡터장의 선적분

10.2 R3 의 벡터장과 2-형식

10.2.1 R3 의 벡터장과 2-형식의 대응

10.2.2 curl 과 d

10.2.3 벡터장의 면적분과 2-형식의 면적분

10.2.4 Stokes 정리

10.3 R3 에서 정의된 함수와 3-형식

10.3.1 벡터장의 발산

10.3.2 발산정리

10.4 벡터해석에서의 미분형식

10.5 미적분학의 기본정리

제 11 장 선형범함수와 텐서곱

11.1 선형범함수와 쌍대공간

11.1.1 선형범함수

11.1.2 쌍대공간

11.2 쌍선형범함수

11.3 선형범함수의 텐서곱

11.3.1 대칭범함수

11.3.2 교대범함수

11.3.3 쐐기곱

11.4 선형범함수의 텐서곱과 정사각행렬

제 12 장 미분형식

12.1 1계미분형식

12.2 선형범함수와 1계미분형식

12.3 2계미분형식

12.4 교대 범함수와 2계미분형식

12.5 미분형식과 벡터장의 대응

12.5.1 1계미분형식과 벡터장의 대응

12.5.2 2계미분형식과 벡터장의 대응

제 13 장 벡터장과 미분형식의 밀당

13.1 1-형식과 벡터장

13.2 미분형식을 끌어오기와 벡터장을 밀어내기

13.2.1 매개곡선으로 밀어내기, 끌어오기

13.2.2 매개곡면으로 밀어내기, 끌어오기

13.3 선적분, 면적분

13.3.1 선적분

13.3.2 면적분

제 14 장 좌표 바꾸기

14.1 좌표 바꾸기와 미분형식

14.2 좌표바꾸기와 벡터장

14.3 극좌표를 이용한 선적분의 계산

고성은

서울대학교 자연대학 수학과 이학사

서울대학교 대학원 수학과 이학석사, 박사

(현) 건국대학교 수학과 명예교수

저서 《다변수 미적분학》, 《미분기하학 I + II》

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