이 책에서 다루는 시각적 사고(visual thinking)는 외적 다이어그램을 시각적으로 지각하거나 시각적으로 상상하는 것과 관련된 사고이다. 수학에서 지금까지는 시각화의 유용성을 심리학적 관점에서만 주로 다루어온 것에 비하여 이 책에서는 시각화를 시각적 사고의 차원으로 끌어올려 인식론적 관점에서 다루고 있다. 이 책의 주된 인식론적 목표는,예컨대 ‘시각적 방법으로 획득된 수학적 신념을 어떻게 정당화할 수 있을까?’, ‘보거나 상상하는 것과 같은 시각적 경험으로부터 수학적 신념에 이르는 인과 관계적 과정은 무엇인가?’ 등을 다루는 것이다. 이 책의 또 다른 목표는 수학적 신념들이 시각과 시각화를 통해 어떻게 형성되는가를 설명하는 것이다. 이를 위해 이 책은 시각적 지각과 시각적 상상에 관한 인지과학의 내용도 다루고 있다. 이 책을 번역하면서 저자인 지아갱토(Giaquinto)의 천재성에 감탄하지 않을 수 없었다. 각 장마다 제시된 참고문헌의 방대함과 그 책을 읽고 소화하여 자신만의 논리로 시각적 사고에 대한 나름대로의 이론을 전개해 나간 것이 아무나 할 수 있는 일은 아니라고 생각되었다. 다양한 은유적 표현을 사용함으로써 부분적으로 역자들도 이해하기 어려운 곳이 많았지만, 시각적 사고를 인식론적 관점에서 풀어내려는 저자의 학문적 열정과 실력은 존경스러웠다. 이 책의 전반적인 내용에 대해서는 1장에서 개관하고 있는데, 여기 머리말에서는 필요한 내용만 더 간단히 요약하고자 한다. 2장부터 5장까지는 기하에 관한 내용을 다루고 있는데, 2장은 기초 기하학에 필요한 인지적 내용을, 그리고 3장에서는 2장의 인지적 내용에 기초하여 다른 신념으로부터 추론하지 않고서도 단순한 기하적인 신념을 어떻게 획득하는가를 다루고 있다. 4장에서는 기본 신념을 사용하여 비경험적 방법으로 시각적 수단에 의해 기하학적 발견을 어떻게 지속시켜갈 수 있는가를 보이고 있다. 5장에서는 4장에서 힐베르트가 기하학 강의 노트에서 주장한 “증명이 다이어그램과 완전히 독립적일 때 비로소 정리가 증명된다.”는 것에 대한 사례를 검토하고 시사점을 제시하고 있다. 6장부터 8장까지는 산술에 관한 내용을 다루고 있는데, 6장은 정수 산술 부분에 대해 심상으로서 수직선의 본질과 용도 및 인지과학 측면에서 본 심상으로서의 수직선의 본질에 대해 살펴보고 있다. 7장은 계산에 관한 내용으로, 시각적 사고가 특히 단순한 수치적 방정식에 대한 지식을 제공하는 계산에서는 그다지 중요하지 않다는 생각을 일소하고 있다. 8장은 수론의 일반 정리들에 대하여 한 쌍의 “조약돌 논증(pebble rguments)”에서 사고의 본질을 탐색하는바, 일반적 정리를 이끌어 내는 과정이 정리를 발견하는 진정한 방법을 구성하는가의 진위여부에 대해서 논하고 있다. 9장부터 12장까지는 초등수학을 넘어선 해석학과 대수를 포함한 다양한 고등수학에 대해서 다루고 있다. 9장은 해석학에서 시각적 사고의 난문제를 다루고 있다. 발견에서 시각화의 역할은 필연적으로 제한되어 있기도 하지만 몇몇 중요한 다른 기능이 해석학에서 시각적 수단에 의해 이행되어진다는 사실을 보이고 있다. 10장에서는 수학에서 기호상징(symbol)들에 관련된 시각적 사고의 본질과 용도를 탐구하면서 대수적 사례에서 기호적 사고의 역할을 살펴보고 있다. 11장은 시각적 경험에 의한 구조에 대한 이해의 본질을, 그리고 마지막 12장에서는 지금까지의 내용을 총괄하여 수학적 사고에 대한 몇 가지의 시사점을 제시하고 있다. 특히 대수적 사고와 기학적인 사고 간의 차이에 대해 공통적으로 인식되는 진술을 세심히 조사하면서 대수적 사고와 기학적인 사고는 하나의 스펙트럼처럼 분할시킬 수 없는 두 기둥임을 보여주고 있다. -옮긴이 머리말-

01 입문 1

02 단순한 모양들: 시각과 개념 13 

03 기하적 기초 지식 37 

04 시각화를 통한 기하적 발견 53 

05 기하적 증명에서 도해 75 

06 심상으로서의 수직선 95 

07 계산의 시각적 측면 123 

08 구체적 이미지로부터 정리를 일반화하기 139 

09 기초 해석학에서의 시각적 사고 165 

10 기호 조작 195 

11 구조에 대한 인식 219 

12 수학적 사고: 대수적 대 기하적? 245 

■ 참고문헌 271 

■ 찾아보기 287

지은이

마르쿠스 지아갱토(Marcus Giaquinto)

현재 영국런던대학교(UCL) 인문학부 철학과 교수로 철학박사학위 외에 수학석사학위도 갖고 있다.

단독 저서로는 《The Search for Certainty: a philosophical account of foundations of mathematics》(2002)가 있다.

공동 저서로는《The Philosophy of Mathematiæl Practice》(2008), 《Visualization, Explanation and Reasoning Styles in Mathematics》(2005), 《A Priori Knowledge}(1999) 등이 있으며， 논문으로는 《Epistemology of Visual Thinking in Elementary Real Analysis》(1994),《Visualizing in Arithmetic)(1993), 《Visualizing as a Means of Geometriæl Discovery)》(1992) 등이 있다.

옮긴이

류성림

대구교육대학교 수학교육과 교수

주요 저서: 《수학 문제해결 교수 학습법》

조정수

영남대학교 수학교육과 교수

주요 역서: 《수학의 천재들》

김진환

영남대학교 수학교육과 교수

주요 역서: 《문제 제기의 기술》

이광호

한국교원대학교 수학교육과 교수

주요 역서: 《수준별 수학 수업을 위한 좋은 문저1》

박선용

영남대학교 수학교육과 교수

주요 논문: <Barrow 정리의 수학사적 분석과 그에 따른 교육적 시사점에 대한연구〉

최재호

대구교육대학교 수학교육과 교수

주요 역서: 《수학다운 수학 가르치고 배우기》

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