개수를 세는 것은 가장 초보적인 수학 활동이다.

유한집합은 원소의 개수를 집합의 크기로 정의함이 물건의 개수 셈을 집합에 적용한 것이다.

이런 기본적인 법칙에서부터 집합이론은 시작된다.

수학의 기본요소는 논리와 집합과 함수라고 할 수 있다.

논리는 가장 오래된 수학책인 유클리드의 《원론》에서부터 수학을 탐구하는 기본적인 법칙이며, 특히 《원론》에서 나온 공리론적 방법으로 수학을 탐구하는 방법은 다른 학문의 탐구에서도 매우 효과적인 방법이다.

논리가 수학의 시초부터 같이 출발한 반면에, 18세기가 되어서야 가우스가 함수를 명확히 정의하고, 19세기 말이 되어서야 칸토어가 집합을 정의한다.

그리고 이를 바탕으로 20세기 초에 집합에 대한 공리론적 방법의 접근으로 수학의 기초적인 구성이 완성된다.

집합론은 수학의 기초를 제공한다.

공리론적 방법과 집합을 이용하여 귀납적으로 자연수를 정의할 수 있다. 자연수를 이용하여 정수를 정의하고, 정수를 이용하여 유리수를 정의하고, 마지막으로 실수와 복소수를 정의할 수 있다. 다시 말하면 집합을 이용하여 수와 공간을 정의할 수 있다는 뜻이다.

이 책은 집합론의 기본적인 이론을 탐구하는 책이다.

머리말 - 3

제1장 명제와 집합 - 7

1.1 명제와 집합의 정의 - 8

1.2 조건 - 11

1.3 합성명제와 집합 - 16

1.4 부분집합과 조건문 - 24

1.5 논리식 - 34

1.6 증명 - 44

1.7 집합의 기본적인 성질 - 51

1.8 집합족 - 60

제2장 관계와 함수 - 65

2.1 순서쌍과 곱집합 - 66

2.2 관계 - 72

2.3 자기관계 - 80

2.4 분할과 동치관계 - 88

2.5 함수 - 93

2.6 함수의 합성 - 104

2.7 함수에 대한 집합의 상과 역상 - 109

제3장 공리론적 집합 구성 - 115

3.1 집단 구성 - 116

3.2 집합의 구성 - 124

3.3 모든 자연수의 집합 - 131

3.4 선택공리 - 143

제4장 무한집합 - 159

4.1 집합의 대등 - 160

4.2 번호 붙일 수 있는 집합 - 166

4.3 셀 수 있는 집합 - 174

제5장 기수와 순서수 - 179

5.1 기수와 연산 - 180

5.2 기수의 순서관계 - 190

5.3 순서수와 연산 - 197

참고 문헌 - 207

찾아보기 - 209

지은이: 이선홍

포항공과대학교 수학과 (이학사)

포항공과대학교 대학원 수학과 (이학석사, 이학박사)

현재 경상국립대학교 자연과학대학 수학과 교수

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