국내외로 분수는 학생들에게 끊임없는 어려움을 제공하는 주제이며 수학을 어렵게 생각 하는 계기가 되는 최초의 수학 주제로 알려져 있다. 학생들은 분수의 덧셈과 뺄셈, 크기 비교하기, 곱셈, 나눗셈의 규칙을 외우려 하고, 그 원리를 이해하려 하지 않거나 혹은 이 해하기를 어려워한다. 규칙을 성공적으로 암기한 학생들이라고 하여 꼭 유연하고 견고한 분수 지식을 개발한 것이라 볼 수 없다는 것은 이미 많은 연구에서 보고한 바 있다. 국내외 선행 연구들을 통해 확인된 분수 학습 어려움의 주요 원인 중 하나는 분수를 사용할 때 성립하는 규칙이 자연수를 사용할 때 성립하는 규칙과 서로 모순되는 것처럼 보이는 것이다. 예를 들어, 7은 6보다 크지만 1/7은 1/6보다 작다. 전체에서 부분의 수와 부분의 크기 간의 상호 관계(전체를 나눈 부분의 수가 많을수록 그 부분 의 크기는 작다는 것)를 이해하지 못하는 학생들에게 이러한 사실은 직관적이지 않다. 

또한, 0과 1을 제외한 두 자연수의 곱은 항상 그 두 수보다 크지만, 분수에서 이는 항상 성립하지 않는다. 또한, 분수를 곱할 때 학생들은 자연수를 곱할 때처럼 분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱할 수 있다는 점을 흥미로워하며 이를 암기하지만, 분수 끼리 더할 때는 새로운 규칙을 사용하며 학생들은 이분모 덧셈, 뺄셈을 어려워하게 된 다. 이와 같은 예는 학생들의 자연수 지식이 분수 지식 형성에 방해가 된다는 방해 가 설(interference hypothesis)을 뒷받침하기 위한 사례로 사용되어 왔다. 한편 Les Steffe는 Ernst von Glasersfeld와 함께 1980년대에 능동적으로 수학을 구성하는 주체로서 학생의 수학을 강조하며 당시 지도 학생이었던 Pat Thompson과 Paul Cobb 등과 함께 학생들의 자연수 지식 구성 과정을 이해하기 위한 실증 연구를 수행하였고, 이후 John Olive 및 그의 지도 학생들과 함께 1990년부터 약 20년간 학 생들을 대상으로 실증 연구를 수행하여 자연수 지식에서 분수 지식을 구성하는 과정에 상당한 연속성이 있다는 것을 발견하였다. 재조직 가설(reorganization hypothesis)은 학 생들이 자연수를 조작하는 방법이 분수를 조작하는 방법에 영향을 미치며 자연수 지식이 분수 지식 구성의 토대가 된다는 것이다. 즉, 학생들은 분수를 처음 배울 때 이를 이해하 기 위해 자신들이 자연수를 이해하기 위해 수행했던 여러 정신적 행동들을 사용한다. 

이 책은 학생의 자연수 지식이 학생의 분수 지식 구성을 방해하는 것이 아니라 그 학생의 분수 지식 수준에 직접적인 영향을 준다는 이론적 관점을 기반으로 한 책이 다. 이 책의 주 저자인 Hackenberg와 Norton은 Steffe의 지도 학생으로 그의 분수 연구에 참여하였고 이후에도 Steffe 연구의 대중화를 위해 여러 방면으로 노력해 오 고 있으며, 이 책도 그 결과물 중의 하나라 할 수 있다. 옮긴이는 석박사 과정에서 대학원의 Hackenberg와 Norton의 후배이자 Steffe의 제자로 그와 함께 분수와 대수 지식 간의 연결을 위한 프로젝트에 참여하여 연구한 바 있고, 당시의 경험을 기반으 로 Steffe의 연구의 대중화를 위해 현재까지 교사 교육 및 연구를 수행하고 있다. 

이 책은 총 13장으로 구성되어 있고 1장은 산술 교육 강화를 위한 교사 전문성 신장 지원을 위해 이 책이 사용될 수 있는 방법에 관해 소개한다. 2장에서는 Steffe 의 재조직 가설을 개관하며, 자연수와 분수 맥락에 걸쳐 학생들의 수학 지식 형성에 중요한 다섯 가지 정신적 활동에 대해 구체적인 예와 함께 설명한다. 3장은 학생들 의 단위 조정 단계와 이를 평가하기 위한 과제와 분석 지침을 제공한다. 4~12장에 서 각 장의 첫째 절에서는 그 장의 초점이 되는 분수 지식 발달의 핵심 주제를 개관 한다. 둘째 절에서는 그 주제에 대한 학생들의 지식을 종합적으로 평가하는데 사용 할 수 있도록 장별로 최대 6개의 수학 과제를 제시하고 각각에 대해 상세히 안내한 다. 각 평가 과제 모음 내 과제들은 그 장에서 다루는 구체적인 수학 주제를 다루고 있다. 각 과제 모음은 과제의 제목, 수업 재료, 평가 과제를 학생들에게 제시하는 방 법에 대한 상세한 설명과 더불어 과제의 목표, 예상되는 학생들의 반응 등으로 구성 된다. 

각 장의 셋째 절에서는 그 장에서 다루는 핵심 주제와 관련된 최대 5개의 수 업 활동을 소개한다. 각 수업 활동은 수업 활동의 제목, 학습 목표, 수업 방법, 수업 재료, 학생 응답, 과제 변형 및 확장의 6개의 부분으로 나누어진다. 4장부터 12장까 지 총 39개의 수학 활동이 제시되어 있고, 이러한 활동은 초등 수학 교사의 과정 중 심 수행 평가 혹은 형성 평가에 매우 유용하게 사용할 수 있으리라 생각하며, 초등 수학 교과서 집필 및 재구성에도 도움이 될 수 있으리라 생각한다. 

-머리말 중에서-

▪옮긴이의 말 iii 
▪글을 시작하며 v

01 산술 교육을 위한 전문성 신장과 세 가지 측면 1
시나리오 1. 학교 소속 수학 지도자 2
시나리오 2. 학군 소속의 Math Recovery® 지도자 3
시나리오 3. 수학 코치 4
산술 교육을 위한 세 가지 측면 5
 

02 자연수에서 분수로 19
재조직 가설 20
단위화 21
조각내기와 분할하기 22
반복하기 24
분리하기 25
분배하기 26
단위 조정 28
주요 내용에 대한 소개 31
1단계 3
2 2단계 33
3단계 34
 

03 단위 조정 단계 평가하기 37
단위 조정 단계 평가를 위한 과제 38
단위 조정 단계 평가를 위한 루브릭 44
학생 응답의 예
 

04 1단계 학생 가르치기: 조각내기 53
영역 개관 54
조각내기와 분할하기 55
배분의 균등성(equality of shares) 평가 58
조각내기 처음 세 수준 학생 가르치기 60
 

05 2단계로 이행: 부분-전체 추론 77
영역 개관 78
전체 내의 부분으로서의 분수 78
전체 중의 부분으로서의 분수 81
전체 내의 부분 분수 스킴 학생들과 활동하기 82
 

06 2단계 학생 가르치기: 단위 분수로 측정하기 95
영역 개관 96
단위 분수와 전체 97
단위 분수 측정 스킴 98
전체의 역할 98
단위 분수와 전체의 상호 관계 100
비단위 분수의 측정 101
양으로서 분수 비교하기 101
동량 분수 103
단위 분수의 측정 개념 평가하기 104
측정으로서의 분수 수업 104
 

07 2단계 학생 가르치기: 가역적 추론 113
영역 개관 114
스플리팅 조작 115
스플리팅 과제에 대한 학생 응답들 115
진분수에 대한 가역적 추론 116
활동을 통하여 세 수준 단위 조정하기 117
가역적 사고 평가 118
가역적 추론 교육 118
 

08 3단계 학생 가르치기: 수로서의 분수 129
영역 개관 130
반복 분수 스킴: 수로서의 분수 130
반복 분수 스킴 평가하기 131
반복 분수 스킴 신장시키기: 마법의 사탕 막대 133
반복 분수 스킴 신장시키기: 분수 비교와 더 긴 막대 그리기 135
수로서의 분수 개념을 견고하게 하는 과제들 136
 

09 2와 3단계 학생 가르치기: 여러 개의 균등 배분 147
영역 개관 148
여러 개의 균등 배분과 조각내기 5수준(3단계 학생들) 148
여러 개의 균등 배분: 반복적인 2등분 전략 152
여러 개의 균등 배분: 전체 막대를 먼저 배분하고 남은 단일 막대를 분할하거나 반복적인 2등분하기 153
여러 개의 균등 배분: 더 어려운 문제에 대한 브리콜라주 해결책 154
여러 개의 균등 배분: 곱셈과 나눗셈을 수반하는 해결책 156
 

10 2와 3단계 학생 가르치기: 분수 곱셈 167
영역 개관 168
단위 분수의 단위 분수 가져가기 168
단위 분수에서 비단위 분수 가져가기 172
비단위 분수의 단위 분수 가져가기 173
분수에서 분수 가져가기, 일반적으로 174
 

11 2와 3단계 학생 가르치기: 분수의 덧셈과 뺄셈 191
영역 개관 192
여러 분수를 나타내기 위해 막대를 변형하기 193
공통측정 단위를 사용하여 동일한 막대에서 2개의 분수 꺼내기 196
동량 분수 개념의 일반화 198
 

12 2와 3단계 학생 가르치기: 분수 나눗셈 215
영역 개관 216
포함제 분수 나눗셈 문제 216
포함제 분수 나눗셈 문제에 대한 곱셈적 해결 방법 219
역수의 양적 의미 220
포함제 분수 나눗셈 문제의 곱셈적 해결 방법을 유도할 수 있는 문제들 222
 

13 분수에서 대수로 233
분수와 대수: 유사한 사고방식 234
미지의 양 236
미지의 양에 관한 곱셈적 추론 237
‘다른’ 분수 나눗셈 241
분수 나눗셈의 대수적 의미 개발을 위한 활동 243
 

▪부 록 246
▪용어 해설 248
▪참고 문헌 252
▪저자 소개 259

지은이
해캔버그(Amy J. Hackenberg)
미국 인디애나대학 수학교육 교수
 

노턴(Anderson Norton)
미국 버지니아 공과대학 수학교육 교수
 

라이트(Robert J. Wright)
호주 서던크로스대학 수학교육 교수

옮긴이 
이수진
고려대학교 수학교육과 학사
조지아 대학교 수학교육 석·박사
몽클레어 주립대학교 수리과학과 수학교육 교수
현재 한국교원대학교 수학교육과 교수

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